Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

134 12 Integration
Die Tangentialvektoren längs der Parameterlinien und ihre Skalarprodukte sind
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⃗t 1 = ∂⃗x cosθ cosϕ
∂θ = r⃗e θ = r ⎝cosθ sin ϕ⎠ , ⃗t 2 = ∂⃗x
− sin ϕ
∂ϕ = r sin θ⃗e ϕ = r sin θ ⎝ cosϕ ⎠ ,
− sin θ
0
(12.111)
√
⃗t 1 ·⃗t 1 = r 2 , ⃗t 1 ·⃗t 2 =⃗t 2 ·⃗t 1 = 0 , ⃗t 2 ·⃗t 2 = r 2 sin 2 θ , det g.. = r 2 sin θ . (12.112)
Integrieren wir über den Parameterbereich 0 ≤ θ ≤ π und 0 ≤ ϕ ≤ 2π , so erhalten wir
die Größe der zweidimensionalen Kugelfläche S 2 in drei Dimensionen
∫ π
0
dθ
∫ 2π
0
dϕ r 2 sin θ = 2π r 2 (− cosθ) ∣ ∣ θ=π
θ=0 = 4π r2 . (12.113)
Kugelfläche in n Dimensionen
Der Wert des n-dimensionalen Integrals
∫
d n x e −∑ i (xi ) 2 =
∫dx 1 e −(x1 ) 2 ∫
dx 2 e −(x2 ) 2 . . .
∫
dx n e −(xn ) 2 = (√ π ) n
(12.114)
ist einfach die n-te Potenz des eindimensionalen Integrals (12.85). In Kugelkoordinaten
r, θ 1 . . .θ n−1 , r = √ x i x i , kann man das Integral auswerten, ohne wissen zu müssen,
wie die kartesischen Koordinaten x i = r n i (θ 1 . . .θ n−1 ), von den Winkeln (θ 1 . . .θ n−1 )
abhängen. Es reicht zu wissen, daß für n ≥ 2 die Determinante der Jacobimatrix in
einen Faktor r n−1 und eine Funktion der Winkel zerfällt, denn jede bis auf eine Spalte
der Jacobimatrix ist linear in r. Da e − ∑ i (xi ) 2 = e −r2 als Funktion der Winkel konstant ist,
ist ihr n-dimensionales Integral durch ein r-Integral gegeben mal dem Integral über die
Determinante der Jacobimatrix über die Winkel. Dieser Faktor ist aber die Flächengröße
der n − 1-dimensionalen Sphäre S n−1 in n-Dimensionen.
∫
d n x e − ∑ i (xi ) 2 = vol(S n−1 ) dr r n−1 e −r2 (12.115)
Substituieren wir hier t(r) = r 2 , dt = 2r dr, setzen den Wert (12.114) auf der linken
Seite ein,
(√ ) n= π vol(S n−1 ) 1 ∫ ∞
dt t n 2 −1 e −t , (12.116)
2 0
und vergleichen wir mit der Definition der Γ-Funktion (12.22), so erhalten wir für die
Flächengröße der Einheitskugel in n ≥ 2 Dimensionen
∫ ∞
0
vol(S n−1 ) = 2 (√ π ) n
Γ( n 2 ) . (12.117)
Insbesondere hat der Einheitskreis S 1 die Länge 2π und die Einheitskugel S 2 in n = 3
Dimensionen die Oberfläche 4π. Das legt mit (12.23) den Wert von Γ( 1 2 ) fest
4π = 2 (√ π ) 3
Γ( 3 2 ) = 2 (√ π ) 3
1
2 Γ(1 2 ) , Γ( 1 2 ) = √ π . (12.118)