Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Eine kugelsymmetrische Massenschale übt in ihrem Inneren keine Kraft aus.
Außerhalb einer kugelsymmetrischen Massenverteilung trägt zum Potential nur das
erste der beiden Integrale in (12.95) bei, da außen ρ(r ′ ) für r ′ > r verschwindet. Die
Massenverteilung erzeugt außerhalb dasselbe Gravitationspotential und dieselbe Kraft,
φ(⃗x) = − G M r
, ⃗F(⃗x) = −m gradφ = − G m M
r 2 ⃗e r , (12.97)
wie ein Massepunkt im Ursprung, der die Gesamtmasse in sich vereinigt.
Ist der Probekörper ausgedehnt und überlappt er nicht die Zentralmasse, so setzt
sich seine gesamte potentielle Energie additiv aus den potentiellen Energien der Massen
d 3 y ρ ′ (⃗y) in kleinen Volumenelementen im Außenfeld der Zentralmasse zusammen,
∫
V(⃗x) = −G M d 3 y ρ′ (⃗y)
|⃗x − ⃗y| . (12.98)
Ist ρ ′ auch kugelsymmetrisch, so hat dieses Integral den Wert V(⃗x) = −GmM/r,
m = ∫ d 3 y ρ ′ (⃗y) , wie die Herleitung von (12.95) zeigt. Erst Abweichungen von der Kugelsymmetrie
führen bei gravitativer Wechselwirkung zweier Massen, die nicht überlappen,
zu Abweichungen von den Bahnen zweier Punktteilchen.
In einer homogen Kugel mit Radius R , Massendichte ρ 0 = M/(4πR 3 /3) innen und
verschwindender Massendichte außen, ρ(r ′ ) = 0 für r ′ > R, beträgt das Gravitationspotential
(12.95)
∫
[ 1 r ∫ R
φ(⃗x) = −4π G ρ 0 dr ′ r ′2 + dr ′ r ] ′
r 0 r
= −4π G ρ 0
[1
r
r 3
3 + R2
2 − r2 ] ( r 2
= G M
2 2R − 3
(12.99)
)
. 3 2R
Die potentielle Energie eines Testteilchens ist dort die eines kugelsymmetrischen, harmonischen
Oszillators. Da das Potential invariant unter Drehungen ist, ist der Drehimpuls
⃗L = ⃗x×⃗p erhalten. Folglich ist jede Bahnkurve eben (Seite 98). Sie verläuft, bei geeignet
gewählten Achsen, in der x-y-Ebene.
Wenn die Bahn ganz im Inneren der homogenen Kugel verläuft, ist sie eine Ellipse
mit dem Kraftzentrum im Mittelpunkt. 3 Dies zeigt sich leicht, wenn wir die x-Achse in
Richtung der größten Auslenkung wählen, die zur Zeit t = 0 durchlaufen werde. Denn
z(t) verschwindet, und die Newtonschen Bewegungsgleichungen für x(t) und y(t) sind
die von zwei entkoppelten, harmonischen Oszillatoren gleicher Frequenz,
ẍ + ω 2 x = 0 , ÿ + ω 2 y = 0 , mit ω 2 = G M
R 3 . (12.100)
Die Anfangsbedingungen ẋ(0) = 0, y(0) = 0, legen die Phasen der Schwingungen fest,
x(t) = a cos(ω t) , y(t) = b sin(ω t) , also gilt die Ellipsengleichung (x/a) 2 +(y/b) 2 = 1.
Da die Kraft an der Kugeloberfläche r = R stetig ist, dauern Kreisbahnen, die knapp
über oder unter der Oberfläche verlaufen, gleich lang. Im Inneren ist die Dauer einer
Schwingung von der Auslenkung unabhängig und dauert ebenfalls solange, wie eine oberflächennahe
Umkreisung. Der Fall durch einen fiktiven, luftleeren Tunnel durch die Erde
3 Bei der Keplerellipse (10.74) ist das Kraftzentrum in einem Brennpunkt. In beiden Fällen ist, weil
der Drehimpuls erhalten ist, die Flächengeschwindigkeit konstant (10.76).