Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

4 1 Vektorräume
Jedes Element w des n-dimensionalen Raumes V kann als Linearkombination einer
Basis e 1 , e 2 . . .e n geschrieben werden, w = e i w i . Dabei sind die Komponenten w i
eindeutig. Denn w, e 1 , e 2 . . .e n ∈ V sind linear abhängig, w λ + e i λ i = 0 mit λ ≠ 0,
also gilt w = e i w i mit w i = −λ i /λ. Ist zudem w = e i w ′ i , so gilt 0 = w − w =
e i w i − e i w ′ i = e i (w i − w ′ i ), also w i = w ′ i für i = 1, 2 . . .n, da die Basisvektoren
e 1 , e 2 . . .e n linear unabhängig sind.
Bei gewählter Basis e 1 , e 2 . . .e n kann jeder Vektor w durch das n-Tupel seiner Komponenten
w i angegeben werden: V ist isomorph (in den betrachteten Strukturen gleich) zu
R n oder C n . Auch wenn Vektorräume so verschieden sein mögen wie Waren und Preise,
was ihre Addition und skalare Multiplikation angeht, sind sie alle einander gleich, wenn
ihre Dimensionen übereinstimmen.
Ort und Geschwindigkeit
Orte können in drei Richtungen verschoben werden. Die hintereinander ausgeführten
Translationen ⃗a bilden einen dreidimensionalen, reellen Vektorraum,
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a 1 1 0 0
⃗a = ⃗e i a i , ⃗a = ⎝a 2 ⎠ , ⃗e 1 = ⎝0⎠ , ⃗e 2 = ⎝1⎠ , ⃗e 3 = ⎝0⎠ , (1.14)
a 3 0 0 1
wobei ⃗e 1 die Verschiebung in x-Richtung, ⃗e 2 die Verschiebung in y-Richtung und ⃗e 3 die
Verschiebung in z-Richtung um eine Einheitslänge bezeichnet und + für Hintereinanderausführen
steht.
Das ist ein mathematisches Modell der Wirklichkeit: der Raum ist dreidimensional, hat
keine Torsion und keine Krümmung und keine Löcher. Anderes ist denkbar (Allgemeine
Relativitätstheorie, string-Theorie) und kann sich als richtig erweisen.
Im Ortsraum gehört zu jedem Paar von Punkten A und B genau eine Translation
−→
AB, die A nach B verschiebt. Wählt man einen Punkt O, den Ursprung, dann kann man
jeden Punkt A durch die Translation −→ OA bezeichnen, Sie heißt Ortsvektor. Ortsvektoren
hängen von der Wahl des Ursprungs ab, Differenzvektoren −→ AB nicht.
−→
OB = −→ −→ −→ −→ −→
OA + AB ⇔ AB = OB − OA
−−→
O ′ A = −−→ O ′ O + −→ OA
(1.15)
−−→
O ′ B − −−→ O ′ A = −−→ O ′ O + −→ OB − ( −−→ O ′ O + −→ −→ −→
OA) = OB − OA
Ein Punktteilchen durchläuft mit der Zeit t seine Bahnkurve ⃗f. Sie ist eine Abbildung
der Zeit, die von einer Startzeit t zur Ankunftszeit t zunimmt, I = {t : t ≤ t ≤ t}, in
den Ortsraum,
{ I ⊂ R → V
Kurve ⃗f :
t ↦→ ⃗f(t) = ⃗e i f i . (1.16)
(t)
Glatte Bahnen können differenziert werden. Ihre Ableitung nach der Zeit ist die Geschwindigkeit,
⃗v(t) = d ⃗f
dt = lim
⃗f(t + ǫ) − ⃗f(t)
ǫ→0 ǫ
. (1.17)