Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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und der Schwerpunkt
∫ (
x
M⃗R = d 2 (x, y) ρ
y)
∫ R
= ρ
0
Segment
(∫ α/2
)
dϕ cosϕ
dr r 2 −α/2
∫ α/2
dϕ sin ϕ −α/2
∫
= ρ dr dϕ r
(r,ϕ)−Bereich
( 2 sin(α/2)
= ρ R3
3
0
( )
r cosϕ
(12.87)
r sinϕ
)
= M 4 ( sin(α/2)
)
3 R α . 0
Für α gegen 0 geht der Schwerpunkt von schmalen Kreissektoren gegen ⃗R = 2/3 R
denn sin(α/2)/(α/2) geht, wie (4.36) zeigt, gegen 1 .
Volumenelement in Kugelkoordinaten
( 1
0)
,
Die Determinante der Ableitungen der kartesischen Koordinaten (x, y, z) nach den Kugelkoordinaten
(r, θ, ϕ) (5.49)
⎛ ⎞
∂x ∂x ∂x ⎛
⎞
∂r ∂θ ∂ϕ
⎜∂y
∂y ∂y
sin θ cosϕ r cosθcosϕ −r sin θ sin ϕ
⎟
⎝ ∂r ∂θ ∂ϕ⎠ = ⎝sin θ sin ϕ r cosθsin ϕ r sin θ cosϕ⎠ (12.88)
∂z ∂z ∂z cosθ −r sin θ 0
∂r ∂θ ∂ϕ
berechnet man leicht, wenn man berücksichtigt, daß ihre Spalten die Komponenten von
⃗e r , r⃗e θ und r sin θ⃗e ϕ sind und daß die Determinante linear in den Spalten ist. Demnach
ist sie r r sin θ mal der Determinante der Matrix D, die in den Spalten die Komponenten
von ⃗e r , ⃗e θ und ⃗e ϕ enthält. Da diese Vektoren normiert sind und aufeinander senkrecht
stehen, ist D eine Drehung und hat Determinante 1.
Unter einem Integral über (x, y, z), das man in Kugelkoordinaten auswertet, gilt daher
d 3 x = dr dθ dϕ ∣ ∂(x, y, z)
det ∣ = dr dθ dϕ r 2 sin θ = dr r 2 d cosθdϕ . (12.89)
∂(r, θ, ϕ)
Dabei haben wir im letzten Schritt dθ sin θ zur Integration über u = cosθ zusammengezogen.
Dies ist bei vielen Integrationen angemessen, deren Integranden Skalarprodukte
cosθ enthalten.
Da eine Kugel mit Radius R durch Kugelkoordinaten überdeckt wird, wenn r die
Werte zwischen 0 und R durchläuft, ϕ die Werte zwischen 0 und 2π sowie θ zwischen
0 und π, also cosθ den Bereich zwischen −1 und 1, ergibt sich das Kugelvolumen in
Kugelkoordinaten einfach als
∫
Kugel
d 3 x =
∫ R
0
dr r 2 ∫ 1
−1
d cosθ
∫ 2π
0
dϕ = R3
3 2 2π = 4π 3 R3 . (12.90)
Gravitationspotential einer kugelsymmetrischen Massenverteilung
Das Gravitationspotential φ(⃗x) ist die potentielle Energie V eines Probeteilchens der
Masse m, geteilt durch m, V(⃗x) = m φ(⃗x) .