Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

128 12 Integration
Die für verschiedene k und m verschiedenen Zwischenstellen ξ können bei stetigem Integranden
und genügend feiner Zerlegung bis auf einen vernachlässigbaren Fehler durch eine
gemeinsame Zwischenstelle im Simplex (P 0 , P 1 , . . .,P n ) ersetzt werden. Bis auf diesen
Fehler ist das Volumen des Bildes dieses Simplexes nach dem Determinantenproduktsatz
um die Determinante der Jacobimatrix größer als das des Simplexes (P 0 , P 1 , . . ., P n ) .
Für den Grenzwert feiner werdender Zerlegungen folgt so der Integralsubstitutionssatz
(12.74).
Flächenelement in Polarkoordinaten
Die partiellen Ableitungen der kartesischen Koordinaten (x, y) = r(cosϕ, sin ϕ) nach
den Polarkoordinaten r, ϕ sind
(
∂(x, y) ∂x
) ( )
∂x
∂(r, ϕ) = ∂r ∂ϕ cosϕ −r sin ϕ ∂(x, y)
∂y =
, det
sin ϕ r cosϕ ∂(r, ϕ) = r (12.81)
∂r
∂y
∂ϕ
Ein Flächenintegral über einen Bereich der kartesischen Koordinaten kann mit dem
transformierten Flächenelement dx dy = dr dϕ r als Integral über Polarkoordinaten ausgewertet
werden
∫
∫
dx dy f(x, y) = dr dϕ r f(r cosϕ, r sinϕ) . (12.82)
(x,y)−Bereich
(r,ϕ)−Bereich
Hiermit und mit dem Trick, zunächst das Quadrat zu berechnen, bestimmt man beispielsweise
das Integral
I =
∫ ∞
−∞
dx e −x2 , (12.83)
für dessen Integranden keine elementare Stammfunktion existiert. I 2 ist das Integral über
die zweidimensionale Ebene, die einem (r, ϕ) Bereich entspricht, in dem ϕ zwischen Null
und 2π und r zwischen Null und Unendlich variiert,
∫ ∞ ∫ ∞ ∫
I 2 = dx e −x2 dy e −y2 = d 2 (x, y) e −(x2 +y 2 )
−∞ −∞ R
∫
2 ∫ 2π
= dr dϕ r e −r2 = dr r e −r2 dϕ = − 1 ∣
(12.84)
r=∞
2 2 π = π . e−r2 r=0
(r,ϕ)−Bereich
∫ ∞
0
Ziehen wir die Wurzel, so erhalten wir
∫ ∞
dx e −x2 = √ π . (12.85)
−∞
Als weiteres Beispiel bestimmen wir den Schwerpunkt eines Kreissektors (Tortenstück)
mit Radius R, und Öffnungswinkel α, das spiegelsymmetrisch zur x-Achse liegt. Bei
konstanter Massenflächendichte ρ ist die Gesamtmasse
∫
M =
Sektor
d 2 (x, y) ρ = ρ
∫ R
0
0
dr r
∫ α/2
−α/2
dϕ = ρ α R2
2
(12.86)