Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

126 12 Integration
Ebenso ist das Gesamtdrehmoment (10.37), das von einer kontinuierlichen Kraftdichte
⃗f(x) ausgeübt wird, das Integral
∫
⃗M = d 3 x⃗x × ⃗f(x) . (12.72)
Dabei ist die Kraftdichte ⃗f entsprechend zur Massendichte als Grenzwert der Kraft definiert,
die auf ein kleines Volumen ausgeübt wird, geteilt durch die Größe des Volumens.
Wenn am n-dimensionalen Integral ∫ d n xf(x) keine Angabe über den Integrationsbereich
steht, ist, wenn nicht aus dem Zusammenhang anderes zu entnehmen ist, gemeint,
daß dieser Bereich R n ist. Natürlich muß der Integrand genügend gutartig sein, damit
der Grenzwert der Integrale über größer werdende, beschränkte Bereiche existiert.
Integralsubstitutionssatz
Die Kreisscheibe ist in Polarkoordinaten (r, ϕ) der Bereich 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ R . Sie
in kartesischen Koordinaten (x, y) = r (cosϕ, sin ϕ) anzugeben, ist schwieriger, weil bei
festgehaltenem x, −R ≤ x ≤ R der y-Bereich − √ R 2 − x 2 ≤ y ≤ √ R 2 − x 2 von x abhängt.
Deshalb ist es oft einfacher, über andere als kartesische Koordinaten zu integrieren.
Wechseln wir beim eindimensionalen Integral die Integrationsvariable y, indem wir sie
als Funktion y(x) auffassen und über x integrieren, so ist im Integranden dy durch die
lineare Näherung dy = dx dy zu ersetzen. Denn für die Intervallgrößen in Riemannsummen
gilt y i − y i−1 = (x i − x i−1 ) dy (12.38) mit der Folge (12.41)
dx
dx | ξ
∫
dx ∣ dy ∫
∣ f(y(x)) = dy f(y) . (12.73)
dx
[a,b]
y([a,b])
Dies gilt auch, falls y(x) monoton fällt und das Bild y(a) der unteren Grenze größer
als das Bild y(b) der oberen Grenze ist. Im Integralsubstitutionssatz steht | dy ∣
dx , falls die
beteiligten Integrale beide von der kleineren zur größeren Grenze integriert werden.
Für ein n-dimensionales Integral über einen y-Bereich, der das Bild einer invertierbaren
Abbildung x = (x 1 . . .x n ) ↦→ y(x) = (y 1 (x) . . .y n (x)) eines Bereiches U ist, lautet
der entsprechende Integralsubstitutionssatz
∫
d n x ∣ ∣det ∂y ∫
∣
∂x |x
f(y(x)) = d n y f(y) . (12.74)
U
Dabei bezeichnet ∂y die Jacobimatrix der partiellen Ableitungen mit Matrixelementen
∂x
J i j = ∂yi . Ihre Determinante darf im Integrationsgebiet U nicht verschwinden.
∂x j
Ist die Jacobimatrix konstant, handelt es sich also um eine lineare Transformation,
so besagt (3.28), daß sich das Volumen von Quadern bei linearen Transformationen mit
ihrer Determinante vergrößert.
Leider ist unter nichtlinearen Transformationen nicht wahr, daß das Bild von Quadern
mit Kanten in Koordinatenrichtung, wie wir sie in den Zerlegungen benutzt haben,
wieder solche Quader sind.
y(U)