Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Höherdimensionales Integral, Mehrfachintegration
Wenn sich ein Gebirge um die Höhe z = h(x, y) in einem Bereich B aus der Ebene
erhebt, dann bestimmt man sein Volumen als Grenzwert von Summen der Volumina von
Quadern, die man erhält, wenn man den Bereich feiner und feiner in Rechtecke zerlegt
und die Größe jedes Rechtecks mit der Höhe an einem Zwischenpunkt im Rechteck
multipliziert.
Genauer denken wir uns B von einem genügend großen Rechteck
ˆB = {(x, y) : x ≤ x ≤ x , y ≤ y ≤ y} (12.54)
überdeckt, setzen die Höhe h(x, y) in ˆB außerhalb von B durch h = 0 fort, zerlegen die x-
und y-Intervalle in x = x 0 < x 1 < x 2 . . . < x n = x und y = y 0 < y 1 < y 2 . . . < y m = y
und zerlegen ˆB in nicht überlappende Rechtecke
B ij = {(x, y) : x i−1 ≤ x ≤ x i , y j−1 ≤ y ≤ y j } . (12.55)
Wenn es eine Zahl V(B, h) gibt und wenn für jeden vorgegebenen Fehler ǫ > 0 eine
Zerlegung von ˆB in Rechtecke B ij existiert, so daß für jede feinere Zerlegung und jede
Wahl von Zwischenstellen ξ ij ∈ B ij die Summe der Volumina der Quader um weniger
als ǫ von V(B, h) abweicht, dann heißt h Riemannintegrabel im Bereich B, und V(B, h)
ist das Volumen, das sich über B erhebt
|V(M, f) − ∑ i,j
(x i − x i−1 ) (y j − y j−1 ) h(ξ ij )| < ǫ . (12.56)
Den Grenzwert der Doppelsumme schreiben wir als
∫
d 2 z h(z) (12.57)
B
wobei z als Kurzschrift für (x, y) steht. Wie beim eindimensionalen Integral ist der
Name der Integrationsvariablen unwesentlich, das Integral hängt vom Bereich B und
dem Integranden h ab, nicht aber von der Integrationsvariablen. Am Symbol d 2 lesen
wir ab, daß es sich um den Grenzwert einer Doppelsumme handelt über Produkte der
zwei Faktoren (x i − x i−1 ) und (y j − y j−1 ) mit h(z) .
Wenn wir die Zwischenstellen ξ ij = (a i , b j ) so wählen, daß sie in x- und y-Richtung
hintereinander liegen, dann besteht die Doppelsumme aus Riemannsummen, die zu eindimensionalen
Integralen gehören,
∑
(x i − x i−1 ) (y j − y j−1 ) h(a i , b j )
i,j
= ∑ i
= ∑ j
(x i − x i−1 ) ( ∑
(y j − y j−1 ) h(a i , b j ) )
j
(y j − y j−1 ) ( ∑
(x i − x i−1 ) h(a i , b j ) ) .
i
(12.58)