Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Γ
x i−1 x i
x i+1
Abbildung 12.2: Weglänge
ven Γ : λ → x(λ) = (x 1 (λ), x 2 (λ) . . .x d (λ)) zwischen x(a) und
x(b) durch die Länge des Streckenzuges von x 0 = x(a) über
x i = x(λ i ), i = 1, 2 . . .n − 1, nach x n = x(b) genähert, wobei
a = λ 0 < λ 1 < λ 2 < . . . < λ n = b eine Zerlegung des Intervalls
[a, b] ist. Sind die Koordinaten x kartesische Koordinaten eines
Euklidischen Raums, so ist die Länge der Strecke von x i−1 nach
x i nach Pythagoras
√ ∑
k (xk i − xk i−1 )2 .
Nach dem Satz von Rolle ist x k i − xk i−1 = (λ i − λ i−1 ) dxk
dλ | ξk
.
Der Fehler, x k i −xk i−1 in der Summe der Streckenlängen für alle k
jeweils durch (λ i −λ i−1 ) dxk an einer gemeinsamen Zwischenstelle zu ersetzen, geht für
dλ | ξ
√ ∑
feiner werdende Zerlegungen gegen Null, weil
k (dxk /dλ |ξk ) 2 in den Argumenten ξ k
gleichmäßig stetig ist. Bis auf diesen kleinen Fehler ist die Länge des Streckenzuges
√ n∑ ∑
(λ i − λ i−1 )
k
i=1
( dxk
dλ | ξi
) 2 . (12.43)
Dies ist eine Riemannsumme des Integrals über die Länge des Tangentialvektors
∫ √ b dx
k
dx
l(a, b; Γ) = dλ
k
a dλ dλ . (12.44)
Es definiert für a < b die Weglänge der Kurve Γ von x(a) bis x(b) .
Die Weglänge ist definitionsgemäß nicht negativ. Die Weglänge eines rückwärts durchlaufenen
Weges kompensiert nicht die Länge des Hinweges, so wenig wie die Abnutzung
von Schuhsohlen auf dem Rückweg rückgängig gemacht wird.
Beispielsweise ist die Länge des Kreisbogens Γ : λ → r (cosλ, sinλ), 0 ≤ λ ≤ φ, das
Integral über über den Öffnungswinkel φ über die Länge des Tangentialvektors
∫ φ
0
dλ
√
( dx
dλ )2 + ( dy
dλ )2 =
∫ φ
0
√
∫ φ
dλ r 2 sin 2 λ + r 2 cos 2 λ =
0
dλ r = r λ ∣ ∣ φ 0 = r φ .
(12.45)
Auch bei der Berechnung der Länge der Zykloide (10.83) eines Rades mit Einheitsdurchmesser
ist nicht die Integration, sondern die Berechnung des Integranden, die
Hauptarbeit. Der Tangentialvektor u i = dxi
dt
( )
1 − cosϕ
− sin ϕ
hat das Längenquadrat
⃗u = 1 2
, ⃗u 2 = 1 4 (1 − 2 cosϕ + cos2 ϕ + sin 2 ϕ) = 1 2 (1 − cos ϕ) = ϕ sin2 2 .
(12.46)
Folglich legt ein Randpunkt dieses rollenden Rades bei einer halben Umdrehung zwischen
ϕ = 0 und ϕ = π die Länge
l =
∫ π
0
dϕ sin ϕ 2 = −2 cos ϕ 2
∣ ϕ=π
ϕ=0 = 2 (12.47)