Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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120 12 Integration<br />
Dann definiert eine Zerlegung x i des Intervalls M eine Zerlegung y i = y(x i ) von y(M).<br />
Die Bil<strong>der</strong> y(ξ i ) = η i von Zwischenstellen ξ i sind Zwischenstellen von y(M). Nach dem<br />
Satz von Rolle können wir in <strong>der</strong> Riemannsumme<br />
∑<br />
(x i − x i−1 ) dy f(y(ξ i )) (12.37)<br />
dx | ξi<br />
die Zwischenstellen ξ i so wählen, daß<br />
i<br />
(x i − x i−1 ) dy<br />
dx | ξi<br />
= y(x i ) − y(x i−1 ) = y i − y i−1 (12.38)<br />
gilt. Dann ist die Riemannsumme des Integrals ∫ b dy<br />
dx f(y(x))<br />
a dx<br />
∑<br />
(x i − x i−1 ) dy f(y(ξ i )) = ∑ (y i − y i−1 ) f(η i ) (12.39)<br />
dx | ξi<br />
i<br />
i<br />
eine Riemannsumme von ∫ y(b)<br />
dy f(y) . Daher ist das Integral über M über die verkettete<br />
y(a)<br />
Funktion f ◦ y mal <strong>der</strong> Ableitung dy/dx gleich dem Integral über den Bildbereich y(M)<br />
über die Funktion f ∫ b<br />
dx dy ∫ y(b)<br />
a dx f(y(x)) = dy f(y) . (12.40)<br />
y(a)<br />
Ist y(x) monoton fallend, so vertauscht y die untere <strong>und</strong> obere Integrationsgrenze des<br />
Integrationsbereiches M = [a, b] , das Bild <strong>der</strong> unteren Grenze a ist wegen y(a) > y(b)<br />
die obere Grenze des Intervalls y(M) = [y(b), y(a)] . Formuliert man den Integralsubstitutionssatz<br />
so, daß beide beteiligten Integrale von <strong>der</strong> unteren <strong>zu</strong>r oberen Grenze<br />
integriert werden, daß also f(y(x)) dx <strong>und</strong> f(y)dy als Flächen gleichen Vorzeichens aufgefaßt<br />
werden, so lautet er<br />
∫<br />
dx ∣ dy ∫<br />
∣ f(y(x)) = dy f(y) . (12.41)<br />
M dx<br />
y(M)<br />
Im Formelbild kürzt sich dx <strong>und</strong> <strong>der</strong> Integrationsbereich M ist durch y(M) ersetzt.<br />
So wie die Funktion f des Bereiches y(M) durch die Funktion y <strong>zu</strong> einer Funktion<br />
f(y(x)) des Urbildes M verkettet wird, so wird das Integral über y(M) nach dem<br />
Integralsubstitutionssatz <strong>zu</strong> einem Integral über das Urbild M.<br />
Beispielsweise bildet y : ϕ → r sin ϕ den Winkelbereich von 0 bis π/2 monoton<br />
wachsend auf das Intervall von 0 bis r ab <strong>und</strong> hat die Ableitung dy/dϕ = r cosϕ.<br />
Damit berechnen wir die Kreisfläche<br />
4<br />
∫ r<br />
dy √ r 2 − y 2 = 4<br />
0<br />
Weglänge<br />
∫ π<br />
2<br />
0<br />
dϕ<br />
d (r sinϕ)<br />
dϕ<br />
√r 2 − r 2 sin 2 ϕ = 4 r 2 ∫ π<br />
2<br />
0<br />
dϕ cos 2 ϕ (12.19)<br />
= π r 2 .<br />
(12.42)<br />
Im d-dimensionalen Euklidischen Raum wird die Länge von stetig differenzierbaren Kur-
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