Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Bei der Addition und skalaren Multiplikation von Vektoren addieren und vervielfältigen
sich die Komponenten,
u + w = (e 1 u 1 + e 2 u 2 + . . .) + (e 1 w 1 + e 2 w 2 + . . .)
(1.2)
= (e 1 u 1 + e 1 w 1 ) + (e 2 u 2 + e 2 w 2 ) + . . .
(1.6)
= e 1 (u 1 + w 1 ) + e 2 (u 2 + w 2 ) + . . . ,
(u + w) 1 = u 1 + w 1 , (u + w) 2 = u 2 + w 2 , . . . (1.10)
λ u = λ (e 1 u 1 + e 2 u 2 + . . .) (1.7)
= e 1 λ u 1 + e 2 λ u 2 + . . .
(λ u) 1 = λ u 1 , (λ u) 2 = λ u 2 , . . . (1.11)
Statt die Komponenten einzeln anzugeben, verwenden wir einen Index i, der die Werte
annehmen kann, mit denen wir die Basisvektoren abzählen und notieren die Gleichung
als
(u + w) i = u i + w i , (λ u) i = λ u i , i = 1, 2 . . . . (1.12)
Eine Gleichung in Indexnotation ist genau dann richtig, wenn sie für jeden Wert, den der
Index i annehmen kann, erfüllt ist. Beispielsweise ist die Vektorgleichung u = λ w genau
dann richtig, wenn jede Komponente u i = λ w i erfüllt. Dieselbe Gleichung können wir
auch als u j = λ w j schreiben, wobei j ein Index ist, der jeden der Werte annehmen kann,
mit denen wir die Basisvektoren abzählen. Was eine Gleichung mit einem Index besagt,
ändert sich nicht, wenn wir ihn in allen Termen gleich umbenennen.
Der Vektor w = ∑ i e i w i = e 1 w 1 + e 2 w 2 + . . . ist eine Summe von Vielfachen der
Basisvektoren. In ihr tritt der Summationsindex doppelt auf, einmal oben und einmal unten,
und durchläuft den Laufbereich der möglichen Werte. Die Summe hängt nicht vom
Namen i des Summationsindexes ab, ∑ i e i w i = ∑ j e j w j . Wir verwenden als Kurzschreibweise
die Einsteinsche Summationskonvention: Ein Indexpaar bezeichnet auch
ohne Summenzeichen die Anweisung, über den Laufbereich des Indexes zu summieren,
e i w i := e 1 w 1 + e 2 w 2 + e 3 w 3 + . . . (1.13)
Für einen doppelt vorkommenden Index kann kein Wert eingesetzt werden, denn das
Indexpaar steht für die Summationsanweisung, über seinen Laufbereich zu summieren.
In Indexnotation kommt in einer Gleichung jeder Index, der nicht paarweise auftritt,
in jedem Term in gleicher Höhe vor: Die Gleichung u i = a , also u 1 = a, u 2 = a . . ., ist
meist nicht gemeint, sondern zeigt normalerweise einen Fehler an.
Dimension und lineare Abhängigkeit
Vektoren e 1 , e 2 . . .e n heißen linear unabhängig, wenn jede Linearkombination e i λ i (Achtung
Summe!) nur dann verschwindet, wenn alle Koeffizienten λ i , i = 1, 2 . . . Null sind.
Ein Vektorraum V ist n-dimensional, dim V = n, wenn er n, nicht aber n + 1, linear
unabhängige Vektoren e 1 , e 2 . . .e n enthält. Jedes geordnete n-Tupel von linear unabhängigen
Vektoren e 1 , e 2 . . .e n heißt eine Basis.