Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

118 12 Integration
Für n = 0 ist die Behauptung f(x) = f(0) + R 0 mit R 0 = ∫ x df
dy der Hauptsatz der
0 dy
Integralrechnung. Zudem gilt der Satz für n + 1, wenn er für n richtig ist, denn bei
partieller Integration erweist sich das Restglied R n als 1/(n + 1)! f (n+1) | 0
x n+1 + R n+1 ,
(n + 1)! R n =
∫ x
0
dy f (n+1) | y
(n + 1) (x − y) n
∫ x
0
= dy ( − d
dy (f(n+1) | y
(x − y) n+1 ) + f (n+2) | y
(x − y) n+1)
= −(f (n+1) | y
(x − y) n+1 ) ∣ y=x
+ (n + 1)! R y=0 n+1
= f (n+1) | 0
x n+1 + (n + 1)! R n+1 .
(12.25)
Der Restterm ist ein Integral über einen Integranden g(y) h(y), mit g = f (n+1) und
h(y) = (x − y) n , wobei h im Integrationsbereich nicht negativ ist. Ersetzen wir in jeder
Riemannsumme den Faktor g(ξ i ) durch den Minimalwert g min oder den Maximalwert
g max von g im Integrationsbereich, so erhalten wir eine untere und eine obere Schranke
für solch ein Integral
∫ b ∫ b ∫ b
h ≥ 0 , a ≤ b : g min h(y) ≤ dy g(y) h(y) ≤ g max h(y) . (12.26)
ady
a
ady
Ist g eine stetige Funktion, so gibt es eine Zwischenstelle ξ zwischen a und b mit
h ≥ 0 :
g(ξ)
∫ b
dy h(y) =
a
∫ b
dy g(y) h(y) . (12.27)
a
Für den Restterm besagt dies, daß es eine Stelle ξ zwischen 0 und x gibt, so daß
R n (x) = 1 n! f(n+1) | ξ
∫ x
0
dy (x − y) n =
1
(n + 1)! f(n+1) | ξ
x n+1 , (12.28)
aber auch wenn die n+1-te Ableitung unstetig ist, kann (n+1)!|R n | ≤ |x| n+1 max|f (n+1) |
eine hilfreiche Abschätzung des Restterms sein.
Von der Beschränkung der Taylorreihe auf den speziellen Entwicklungspunkt x = 0
und auf Funktionen von nur einer Variablen befreit man sich, indem man Funktionen f
einer Umgebung des Punktes y = (y 1 , y 2 . . .y d ) auf der Verbindungsstrecke
Γ : λ → z(λ) = y + λ (x − y) (12.29)
von z(0) = y zum Punkt z(1) = x = (x 1 , x 2 . . .x d ) betrachtet. Die Taylorreihe der
zusammengesetzten Funktion g(λ) = f(z(λ))
g(λ) =
n∑
k=0
1
k! g(k) | 0
λ k + R n (λ) , g(1) =
n∑
k=0
1
k! g(k) | 0
+ R n (1) (12.30)
hat für λ = 1 den Wert g(1) = f(x). Die Ableitung der verketteten Funktion f(z(λ)) ist
g (1) = dg
dλ = dzi
dλ ∂ if |z(λ) ,
mit
dz i
dλ = xi − y i , i ∈ {1, 2 . . .d} . (12.31)