Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Denn das Integral, geteilt durch (b−a) > 0, ist nicht größer als der Maximalwert von g
im Intervall und nicht kleiner als der Minimalwert, sondern hat einen Wert dazwischen.
Diesen Wert nimmt die Funktion g, weil sie stetig ist, an einer Zwischenstelle ξ an.
Insbesondere verschwindet das Integral über eine nichtnegative, stetige Funktion nur,
wenn sie im Integrationsbereich verschwindet.
Mit dem Zwischenwertsatz zeigt sich, daß das Integral über einen stetigen Integranden
g als Funktion der oberen Grenze eine Stammfunktion von g ist. Für Funktionsdifferenzen
gilt
∫ x+ǫ ∫ x ∫ x+ǫ
dy g(y) − dy g(y) = dy g(y) = ǫ g(x) , (12.9)
a
a
x
wobei x aus dem Intervall von x bis x + ǫ ist. Teilen wir durch ǫ, so erhalten wir als
Grenzwert für ǫ gegen Null,
∫
d x
dy g(y) = g(x) . (12.10)
dx a
Als Funktion der oberen Grenze ist das Integral eine Stammfunktion des Integranden.
Hauptsatz der Integralrechnung
Die Differenz f(b)−f(a) jeder im Intervall von a bis b definierten Funktion läßt sich als
Summe über die zu einer Zerlegung (12.1) gehörigen Funktionsdifferenzen schreiben,
f(b) − f(a) =
n∑ (
f(xi ) − f(x i−1 ) ) , (12.11)
i=1
denn in (f(b) − f(x n−1 )) + (f(x n−1 ) − f(x n−2 )) + . . . + (f(x 2 ) − f(x 1 )) + (f(x 1 ) − f(a))
heben sich paarweise alle Terme bis auf die Randterme weg.
Nach dem Zwischenwertsatz (4.13) existieren für jede Zerlegung des Intervalls Zwischenstellen
ξ i , so daß
f(b) − f(a) =
n∑ (
f(xi ) − f(x i−1 ) ) =
i=1
n∑
(x i − x i−1 ) df
i=1
dx| ξi
. (12.12)
Da der Grenzwert der rechten Seite das Integral über df/dx ist, zeigt dies den Hauptsatz
der Integralrechnung
∫ b
a
dx df
dx = f(b) − f(a) = f∣ ∣ b a . (12.13)
Das Integral über eine stetige Funktion g = df/dx ist die Differenz der Werte der
Stammfunktion f an der oberen und unteren Integrationsgrenze.
Findet man also in Tabellen von Ableitungen [5, 11] die Funktion g als Ableitung einer
Stammfunktion f, g = df/dx, so ist das Integral über g die Differenz der Stammfunktion
f an den Randpunkten. Durch Rückwärtslesen von Tabellen von Ableitungen kann man
integrieren.