Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

114 12 Integration
man mit dem Integral über die Ableitung die Funktion f bis auf eine Konstante ganz
wiederherstellen kann.
Das Integral über eine Konstante c ist c mal der Größe des Integrationsbereichs
∫ b
dxc = c (b − a) . (12.4)
a
Das Integral hängt vom Integrationsbereich M = [a, b] und von der Funktion f ab
und könnte mit diesen Abhängigkeiten als ∫ f geschrieben werden. Es hängt nicht von
M
der Bezeichnung der Integrationsvariablen ab,
∫ b ∫ b
dxf(x) = dy f(y) , (12.5)
a
a
ebenso wie ein Indexpaar eine Summe bezeichnet, die Summe aber nicht vom Indexpaar
abhängt, u i v i = u j v j . So wie das Indexpaar verschieden von jedem anderen Index
sein muß, der in einem Term auftritt, muß die Integrationsvariable verschieden von der
Bezeichnung der Grenzen sein.
Verbreitet ist auch die Schreibweise ∫ b
f(x) dx, bei der das Integralzeichen als eine
a
sich öffnende Klammer gelesen wird, die mit dem Symbol dx geschlossen wird.
Wir unterstellen im weiteren, wenn wir nicht ausdrücklich anderes sagen, daß die
Funktionen, von denen wir reden, in den Bereichen, über die wir integrieren, integrabel
sind, und verwenden Eigenschaften von Integralen, deren Beweis wir den Mathematikern
überlassen.
Linearität, Zwischenwertsatz, Ableitung nach der oberen Grenze
Das Integral hängt linear vom Integranden ab, für Zahlen c und d gilt
∫ b
adx ( c f(x) + d g(x) ) = c (∫ b
dxf(x) ) + d (∫ b
dxg(x) ) . (12.6)
Es setzt sich additiv aus Beiträgen von Teilbereichen zusammen. Für Punkte c zwischen
a und b gilt
∫ b ∫ c ∫ b
dxf(x) = dxf(x) + dxf(x) . (12.7)
a
a
c
Man definiert ∫ c
a dxf(x) = − ∫ a
c dxf(x) und ∫ a
a
dxf(x) = 0, dann gilt (12.7) für alle a, b
und c, falls zwei der drei Integrale existieren.
Das Integral ist eine orientierte Flächengröße, die beide Vorzeichen haben kann. Wenn
der Integrand negativ ist und das Integrationsintervall von kleineren zu größeren Werten
durchlaufen wird, ist die Fläche negativ, wenn das Integrationsintervall umgekehrt
durchlaufen wird, ändert die Fläche ihr Vorzeichen.
Für stetige Integranden g gilt der Zwischenwertsatz, daß es einen Punkt ξ zwischen
a und b gibt, so daß
∫ b
dxg(x) = (b − a) g(ξ) , a < ξ < b . (12.8)
a
a
a