Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Da die orthonormalen Eigenvektoren e 1 , e 2 . . . eine Basis bilden, können wir y i als Linearkombination
y i (t) = ∑ a ei a z a (t) schreiben. Wegen e a · e b = δ ab behält die kinetische
Energie ihre Form. Die potentielle Energie vereinfacht sich zu einer Summe von Quadraten,
ẏ i ẏ i = e i a ża e i b żb = ż b ż b , e i a z a Ω 2 ij e j b zb = ∑ ω 2 b (z b ) 2 . (11.13)
b
Die passive Transformation, die y i = O i a z a , O i a = e i a , durch die Komponenten
z a darstellt, ist wegen e a ·e b = δ ab eine Drehung, O T O = 1. Eine reelle quadratische
Form W(y) = Ω 2 ij yi y j läßt sich also durch eine Drehung unter Wahrung der reellen
quadratischen Form δ ij y i y j diagonalisieren.
Überlagerung von Eigenschwingungen
Setzen wir y i (t) = ∑ b ei b zb (t) in die Bewegungsgleichung (11.7) ein, so erhalten wir,
weil die e b Eigenvektoren von Ω 2 sind,
0 = ∑ b
e i b
(¨z b + ω 2 b zb) . (11.14)
Es sind aber die Eigenvektoren linear unabhängig. Die Bewegungsgleichung ist folglich
genau dann erfüllt, wenn jede Komponente z 1 , z 2 . . . einer Schwingungsgleichung genügt
¨z b + ω 2 b zb = 0 , keine Summe über b . (11.15)
Mit den Lösungen z b (t) = RA b e i ω b t = a b cos(ω b t + ϕ b ) (8.12) schreibt sich jede
Lösung y i (t) der Bewegungsgleichungen als
y i (t) = R ∑ b
e i b A b e i ω b t = ∑ b
e i b a b cos(ω b t + ϕ b ) . (11.16)
Sie enthält 2n nicht weiter eingeschränkte Parameter, die Amplituden a 1 , a 2 . . . und
Phasen ϕ 1 , ϕ 2 . . . Sie bestimmen die anfängliche Lage y i (0) und anfängliche Geschwindigkeit
ẏ i (0) . Umgekehrt bestimmen die 2n Anfangsbedingungen die Amplituden und
Phasen,
y i (0) = ∑ b
e i b a b cosϕ b ,
ẏ i (0) = − ∑ b
e i b ω b a b sin ϕ b , (11.17)
y(0) ·e c = z c = a c cosϕ c , ẏ(0) ·e c = ż c = −ω c a c sin ϕ c , (11.18)
a c = √ {
arccos(z c /a
(z c ) 2 + (ż c /ω c ) 2 c ) ż c ≤ 0
, ϕ c =
π + arccos(−z c /a c ) ż c > 0 . (11.19)
Die Lösung (11.16) ist eine Superposition oder Überlagerung verschiedener Eigenschwingungen,
die man auch Normalmoden oder Normalschwingungen nennt,
y i b(t) = e i b a b cos(ω b t + ϕ b ) , (11.20)