Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

110 11 Kleine Schwingungen
ein, dann lauten die Bewegungsgleichungen, wenn wir uns wieder der Summationskonvention
bedienen,
ÿ i + Ω 2 ij yj = 0 . (11.7)
Die Matrix Ω 2 ist symmetrisch, Ω 2 T = Ω 2 . Wäre sie diagonal, so lägen die Bewegungsgleichungen
von n harmonische Oszillatoren vor. Aber normalerweise ist Ω 2 nicht
diagonal, und die Oszillatoren sind gekoppelt.
Diagonalisierung einer reellen, quadratischen Form
Jede reelle, symmetrische Matrix Ω 2 hat n aufeinander senkrecht stehende, reelle, normierte
Eigenvektoren.
Denn das charakteristische Polynom det(Ω 2 −λ1) = (−1) n (λ−λ 1 )(λ−λ 2 ) · · ·(λ−λ n )
hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra komplexe Nullstellen λ 1 , λ 2 . . .λ n . Zu jedem
Eigenwert λ gibt es einen Eigenvektor mit Komponenten (u i + i v i ) ,
Ω 2 ij (u j + i v j ) = λ (u i + i v i ) . (11.8)
Durch Konjugieren erhalten wir hieraus, weil Ω 2 reell und symmetrisch ist,
λ ∗ (u i − i v i ) = Ω 2 ij (uj − i v j ) = Ω 2 ji (uj − i v j ) = (u j − i v j ) Ω 2 ji (11.9)
und demnach einerseits aus der Eigenwertgleichung von u + i v und andererseits aus der
Eigenwertgleichung von u − i v
λ (u j − i v j ) (u j + i v j ) = (u j − i v j ) Ω 2 ji (ui + i v i ) = λ ∗ (u i − i v i ) (u i + i v i ) . (11.10)
Da (u i − i v i ) (u i + i v i ) = u i u i + v i v i nicht verschwindet, ist jeder Eigenwert der
symmetrischen, reellen Matrix Ω 2 reell, λ = λ ∗ ∈ R ⊂ C, mit zugehörigem reellen
Eigenvektor.
Die symmetrische Matrix Ω 2 bildet den zu einem Eigenvektor e senkrechten Unterraum
V ⊥ = {v : e ·v = 0} auf sich ab. Ist nämlich e j v j = 0, so verschwindet auch
e i (Ω 2 ij vj ), denn e i Ω 2 ij = Ω2 ji ei = λ e j gilt wegen der Eigenwertgleichung und weil Ω 2
symmetrisch ist. Folglich ist e i Ω 2 ij vj = λ e j v j = 0, wenn e senkrecht auf v steht.
Für n = 1 hat jede reelle, symmetrische Matrix Ω 2 offensichtlich n aufeinander senkrecht
stehende, reelle, normierte Eigenvektoren. Wenn aber dieser Sachverhalt für n − 1
Dimensionen gilt, dann gilt er auch für n Dimensionen. Denn in n Dimensionen gibt
es einen reellen, normierten Eigenvektor e 1 . Der zu e 1 senkrechte n − 1-dimensionale
Unterraum wird von Ω 2 auf sich abgebildet, und enthält nach Induktionsannahme n−1
senkrecht zueinander stehende, normierte Eigenvektoren e 2 . . .e n .
Ihre Eigenwerte nennen wir ω 2 1 , ω2 2 . . .ω2 n . Sie sind nicht negativ, wenn die quadratische
Form Ω 2 ij yi y j positiv definit ist und zu einem rücktreibenden Potential gehört,
Ω 2 e 1 = ω 2 1 e 1 , . . . Ω 2 e n = ω 2 n e n . (11.11)
In den Variablen y sind die kinetische Energie und das Potential die quadratischen
Formen
E kin = 1 2ẏi ẏ i , E pot = 1 2 Ω2 ij yi y j . (11.12)