Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Setzen wir in (10.58) ein und nehmen wir die Summe und die Differenz beider Bewegungsgleichungen,
entkoppeln sie in die Differentialgleichungen der freien Schwerpunktsbewegung
mit Gesamtmasse M = m 1 +m 2 und der Lösung (10.59) sowie der Relativbewegung
mit reduzierter Masse m = m 1 m 2 /M im Potential V(⃗x) = −α/ √ x 2 + y 2 + z 2
M ¨R i = 0 ,
m ẍ i = ∂ i
α
|⃗x|
= −α
xi
|⃗x| 3 , α = m 1 m 2 G . (10.61)
Da das Potential nur von r = √ x 2 + y 2 + z 2 abhängt, verwenden wir für die Relativbewegung
Kugelkoordinaten (5.30)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x sin θ cosϕ
⎝y⎠ = r ⎝sin θ sinϕ⎠ . (10.62)
z cosθ
Die Geschwindigkeit d⃗x/dt, ausgedrückt durch Zeitableitungen von x ′ = (r, θ, ϕ) , ist
nach der Kettenregel
dx i
dt = dx′ j ∂x i
dt ∂x . (10.63)
′ j
Die Jacobi-Matrix ∂xi
∂x ′j haben wir schon ausgerechnet (5.49), wir erhalten
mit
d⃗x
dt = ṙ⃗e r + ˙θ r⃗e θ + ˙ϕrsin θ⃗e ϕ (10.64)
⎛ ⎞
sin θ cosϕ
⎛ ⎞
cos θ cosϕ
⎛ ⎞
− sin ϕ
⃗e r = ⎝sin θ sin ϕ⎠ , ⃗e θ = ⎝cosθsin ϕ⎠ , ⃗e ϕ = ⎝ cosϕ⎠ . (10.65)
cosθ
− sin θ
0
Man bestätigt leicht, daß die Vektoren ⃗e r ,⃗e θ ,⃗e ϕ , die an jedem Ort in Richtung von zunehmenden
r, θ, ϕ zeigen, normiert sind und aufeinander senkrecht stehen. Die kinetische
Energie, beispielsweise, ist daher
E kin = 1 2 m (d⃗x dt )2 = 1 2 m (ṙ2 + r 2 ˙θ2 + r 2 sin 2 θ ˙ϕ 2 ) . (10.66)
Zur Bestimmung der Relativbewegung ⃗x(t) nutzen wir aus, daß das Potential V nicht
explizit von der Zeit abhängt. Folglich ist die Energie E = E kin + V erhalten (10.20).
Zudem ist das Potential invariant unter Drehungen. Daher (10.35) ist der Drehimpuls
⃗L = ⃗x × (m ˙⃗x) erhalten. Folglich ist die Bahn eben, ⃗x ·⃗L = 0 (Seite 98), und verläuft,
wenn wir die z-Achse in Richtung von ⃗L wählen, in der z-Ebene. Dort gilt θ(t) = π/2,
sin θ = 1 und ⃗e r ×⃗e ϕ = ⃗e z , und wegen ˙θ = 0 ist der Drehimpuls
⃗L = m r⃗e r × (ṙ⃗e r + r ˙ϕ⃗e ϕ ) = m r 2 ˙ϕ⃗e z . (10.67)
Es gelten also mit konstanten L und E die Erhaltungsgleichungen
L = m r 2 ˙ϕ , E = 1 2 m (ṙ2 + r 2 ˙ϕ 2 ) − α r . (10.68)