Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

100 10 Erhaltungsgrößen und Symmetrien
jedoch sind die dann verbleibenden Terme g(x, v) = −m v i v i + x i ∂ i V nicht von der
Form d t ˜Q . Denn da g nicht von b abhängt, darf ˜Q nicht von v abhängen. Aber dann
ist d t ˜Q = ∂t ˜Q + v i ∂ x i ˜Q linear inhomogen in v und demnach verschieden von g.
Wenn auch nicht ein Erhaltungssatz, so folgt doch aus (10.44) ein Satz über Mittelwerte
von kinetischer und potentieller Energie, falls das Potential homogen von Grade
N ist und
V(e λ x) = (e λ ) N V(x) , x i ∂ i V = N V , (10.45)
erfüllt. Der zweite Teil der Gleichung ergibt sich durch Ableiten nach λ bei λ = 0.
Der Operator x i ∂ i zählt den Homogenitätsgrad in den Variablen x ab, x∂ x x N = Nx N .
Wie wir noch sehen werden, 1 verschwindet bei beschränkten Bahnen der Mittelwert der
Ableitung d(x i v i )/dt . Demnach ist gemäß (10.44) im Mittel die kinetische Energie bei
Bewegung in einem homogenen Potential vom Grad N gleich N/2-mal der potentiellen
Energie,
〈 1 2 m⃗v2 〉 = N 〈V〉 . (10.46)
2
Dieser Befund über die Mittelwerte der kinetischen und potentiellen Energie bei Bewegung
in einem homogenen Potential vom Grad N heißt Virialsatz. Beim harmonischen
Oszillator ist die kinetische Energie im Mittel gleich der potentiellen Energie, bei Bewegung
im Keplerpotential V = −m M G/r gleich der Hälfte des Betrages der potentiellen
Energie.
Eindimensionale Bewegung
Ist bei der Bewegung eines Freiheitsgrades die Energie von der Form
E = 1 2 m (dx dt | t
) 2 + V(x(t)) (10.47)
erhalten, so lösen wir nach der Geschwindigkeit v auf und lesen
√
dx 2
dt = ± (E − V(x(t)) (10.48)
m
als Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion x(t) , die angibt, wo das Teilchen
zur Zeit t ist. Leider ist in dieser Gleichung die rechte Seite eine unbekannte Funktion
der Zeit t, denn wir kennen nicht die Funktion x(t).
Die Geschwindigkeit kann beide Vorzeichen haben. Wir betrachten einen Bewegungsabschnitt
mit positiver Geschwindigkeit.
Die Ableitung der Umkehrfunktion t(x), die angibt, wie spät es ist, wenn das Teilchen
am Ort x ist, t(x(t ′ )) = t ′ , ist am Ort x der Kehrwert der Ableitung von x(t) (4.11) zur
1 Der Mittelwert einer Größe Q(t), die sich mit der Zeit t ändert, ist das Integral ∫ T
0
dt Q(t), geteilt
durch die Dauer T, über die gemittelt wird. Ist Q = dq/dt die Zeitableitung einer Funktion q, so ist
das Integral nach dem Hauptsatz der Integralrechnung q(T) − q(0) und geht, geteilt durch T, wenn
q beschränkt ist, für große T gegen Null.