Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Gewichteter Startort
Jede infinitesimale Galileitransformation δ⃗x a = ⃗ut mit Geschwindigkeit ⃗u ist eine Symmetrie
der Wirkung, wenn das Potential darunter invariant ist, u ∑ i a ∂ x V = 0, wenn
i a
also die Gesamtkraft in Richtung ⃗u verschwindet,
∑
δx i aG ia = u ∑ ∑
i (m a t b i a) = u i d t m a (t v i a − x i a) . (10.41)
a
a
a
Wenn die Gesamtkraft in allen Richtungen verschwindet, dann hat auf physikalischen
Bahnen die Größe ∑ a m a(⃗x a (t) − t⃗v a (t) den zeitlich unveränderlichen Wert, den sie
zu Beginn für t = 0 hatte: die Summe der mit der Masse gewichteten Koordinaten des
Startortes, das ist der mit der Gesamtmasse multiplizierte anfängliche Schwerpunkt ⃗R
∑
m a (⃗x a (t) − t⃗v a (t)) = ∑ ∑
a
m a ⃗x a (0) = m⃗R(0) , ⃗R =
m a⃗x a
, m = ∑ m a .
m
a
a
a
(10.42)
Der Schwerpunkt bewegt sich, wenn die Gesamtkraft verschwindet, nach (10.42) gradlinig
gleichförmig mit der wegen Impulserhaltung konstanten Schwerpunktsgeschwindigkeit
⃗V = ∑ a m a⃗v a /m, denn (10.42) besagt ⃗R(t) − t ⃗V = ⃗R(0), das ist der Schwerpunktsatz
⃗R(t) = ⃗R(0) + t ⃗V(0) . (10.43)
Die zur Symmetrie der Wirkung gehörige Erhaltungsgröße listet die folgende Tabelle.
Symmetrie
Zeittranslation
räumliche Verschiebung
Drehung
Galileitransformation
Erhaltungsgröße
Energie
Impuls
Drehimpuls
gewichteter Startort
Diese Erhaltungsgrößen setzen sich mit Ausnahme der Energie additiv aus Beiträgen der
einzelnen Teilchen zusammen. Wenn sich allerdings die Teilchen im Laufe der Zeit voneinander
entfernen und die potentielle Energie mit zunehmendem Abstand der Teilchen
verschwindet, dann ist auch die Energie additiv, nämlich die Summe der kinetischen
Energien. Wenn nicht, geht das Mehrteilchensystem nicht in ein System einzelner Teilchen
über.
Virialsatz
Eine infinitesimale Streckung δx i = x i ist keine Symmetrie der Wirkung, selbst wenn das
Potential verschwindet und invariant unter Streckung ist. Denn die Linearkombination
x i G i = x i (m b i + ∂ i V) ist nicht die Ableitung d t einer Jetfunktion Q. Zwar kann man
den Term x i (m b i ) umschreiben,
x i G i = d t
(
m x i v i) − m v i v i + x i ∂ i V , (10.44)