Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

98 10 Erhaltungsgrößen und Symmetrien
verschwindet, ⃗n · ⃗M = 0,
0 = (⃗n ×⃗x) i ∂ i V = ǫ ijk n j x k ∂ i V = −n j ǫ jki x k F i = −⃗n ·⃗x ×⃗F . (10.33)
Die infinitesimale Drehung δx i = dT λx i
dλ | λ=0
= ǫ ijk n j x k ist eine Symmetrie der Wirkung
und der Drehimpuls
⃗L = ⃗x × ⃗p (10.34)
in Achsenrichtung ⃗n ist die zugehörige Erhaltungsgröße
d t
(
n i ǫ ijk m x j v k) = n i ǫ ijk m (v j v k + x j b k ) = ǫ ijk n j x k (m b i + ∂ i V) . (10.35)
Hängt das Potential nur von r = √ ⃗x 2 ab wie beispielsweise V(⃗x) = −mMG/r bei der
Bewegung eines Planeten um die Sonne, so ist es invariant unter allen Drehungen und alle
Komponenten des Drehimpulses sind Erhaltungsgrößen. Dann ist, wie schon auf Seite 27
gezeigt, jede physikalische Bahn eben, denn das Kreuzprodukt ⃗L(t) = ⃗x(t) × ⃗p(t) steht
senkrecht auf jedem seiner Faktoren, ⃗x(t) ·⃗L(t) = 0 = ⃗x(t) ·⃗L(0), und ⃗x(t) liegt jederzeit
in der Ebene durch den Ursprung mit dem Normalenvektor ⃗L(0) .
Ist ein n-Teilchen-Potential unter gemeinsamer Drehung um eine Achse ⃗n invariant,
V(T λ ⃗x 1 , T λ ⃗x 2 . . .T λ ⃗x n ) = V(⃗x 1 ,⃗x 2 . . .⃗x n ) (10.36)
wobei T λ ⃗x die Drehung (10.8) ist, dann zeigt Differenzieren nach λ bei λ = 0, daß das
Gesamtdrehmoment ⃗M in Achsenrichtung verschwindet
⃗M = ∑ a
⃗M a = ∑ a
⃗x a ×⃗F a , ⃗n · ⃗M = 0 , (10.37)
0 = ∑ δx i a ∂ x i a
V = ∑ ǫ ijk n j x k a ∂ x i a
V = −n ∑ j ǫ jki x k a F ia = −⃗n · ∑
⃗x a ×⃗F a .
a
a
a
a
(10.38)
Daher ist der Gesamtdrehimpuls ⃗L = ∑ ⃗ a
L a = ∑ a ⃗x a ×⃗p a in Achsenrichtung erhalten,
und δx i a = ǫ ijkn j x k a ist eine infinitesimale Symmetrie der Wirkung
d
dt
∑
n i ǫ ijk m a x j a vk a = ∑
a
a
ǫ ijk n j x k a (m a b i a + ∂ x i a V) = ∑ a
ǫ ijk n j x k a G ia . (10.39)
An der Erhaltung des Drehimpulses in einer Richtung ⃗n ändern auch Zwangskräfte
F iaZwang = ∑ b
λ b ∂ x i a
φ b (10.40)
nichts, wenn die Nebenbedingungen φ b = 0 invariant unter Drehung um die Achse ⃗n sind
und mit δx i a = ǫ ijkn j x k a die Gleichung δxi a ∂ x i a φ b = 0 erfüllen. Denn dann verschwindet
das Gesamtdrehmoment, das die Zwangskräfte erzeugen.