Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Verschiebung ist eine Symmetrie der Wirkung, zu der der Gesamtimpuls als Erhaltungsgröße
gehört. Die Bewegungsgleichungen der beiden Teilchen sind G ia ◦ ˆf phys = 0 für
i = 1, 2, 3 und a = 1, 2 mit
und wegen der Kettenregel ist
G i1 = m 1 b i 1 + ∂ x i 1 V , G i2 = m 2 b i 2 + ∂ x i 2 V , (10.25)
∂ x i
2
V(⃗x 1 −⃗x 2 ) = −∂ z iV(⃗z) |⃗z=⃗x1 −⃗x 2
= −∂ x i
1
V(⃗x 1 −⃗x 2 ) . (10.26)
Es gilt also Actio = −Reactio, ⃗F 1 = −⃗F 2 . Daher verschwindet die Gesamtkraft ∑ a ⃗ F a
und folglich ⃗c · ∑a ⃗ F a , also ist
c i ∑ a
G ia = c i ∑ a
m a b i a = c i d t p i
mit p i = ∑ a
m a v i a = ∑ a
p i a . (10.27)
Ebenso ist bei mehreren Teilchen der Gesamtimpuls ⃗p = ∑ a m a⃗v a in Richtung ⃗c
erhalten, wenn das Potential V(⃗x 1 + λ⃗c . . .⃗x n + λ⃗c) = V(⃗x 1 . . .⃗x n ) unter gemeinsamer
Verschiebung aller Teilchen in Richtung ⃗c invariant ist. Denn dann verschwindet in dieser
Richtung die Gesamtkraft, −c ∑ i a ∂ x V = 0, wie Ableiten nach λ bei λ = 0 zeigt.
i a
Die Summe c ∑ i a G ia vereinfacht sich daher zu c ∑ i a m ab i a = ci d t p i , das heißt, der
Gesamtimpuls in Richtung ⃗c ändert sich auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen
nicht im Laufe der Zeit.
Schränken Zwangskräfte
F iaZwang = ∑ λ b ∂ x i a
φ b (10.28)
b
die Bewegung auf Untermannigfaltigkeiten ein, die durch translationsinvariante Nebenbedingungen
φ b (⃗x 1 + λ⃗c,⃗x 2 + λ⃗c . . .) = φ b (⃗x 1 , ⃗x 2 . . .) (10.29)
gegeben sind, dann zeigt Differenzieren nach λ bei λ = 0
c i ∑ a
∂ x i a
φ b = 0 , (10.30)
daß c i ∑ a,b λ b ∂ x i a
φ b , die Summe der Zwangskräfte in Richtung ⃗c, verschwindet. Daher
ist im translationsinvarianten Potential bei translationsinvarianten Zwangsbedingungen
der Gesamtimpuls erhalten, d t (⃗c ·⃗p) = ⃗c · ∑
a m a ⃗ b a = ⃗c · ∑a (m a ⃗ b a −⃗F a −⃗F aZwang ) .
Drehimpulserhaltung
Ist das Potential V eines Teilchens unter Drehung (10.8) um eine Achse ⃗n invariant,
V(⃗x ‖ + (cosλ)⃗x ⊥ + (sinλ) ⃗n ×⃗x ⊥ ) = V(⃗x) , (10.31)
dann zeigt Differenzieren nach λ bei λ = 0, daß in Achsenrichtung das Drehmoment
⃗M = ⃗x ×⃗F (10.32)