Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

96 10 Erhaltungsgrößen und Symmetrien
erhalten. Die Bewegungsgleichungen sind G ia ◦ ˆf phys = 0 mit G ia = m a b i a +∂ x i a V (keine
Summe über a) und δx i a = v i a ist eine Symmetrie der Wirkung
n∑
a=1
v i aG i a = ∑ a
(m a v i ab i a + v i a∂ x i a
V) = d t ( 1 ∑
m a v i
2
av i a + V) . (10.20)
a
Die Energie hängt von der anfänglichen Lage und der anfänglichen Geschwindigkeit ab,
behält aber dann auf der physikalischen Bahn ihren anfänglichen Wert.
Die Energie bleibt auch erhalten, wenn Zwangskräfte zeitunabhängiger Zwangsbedingungen
die Orte und Geschwindigkeiten von Teilchen einschränken, etwa auf eine schiefe
Ebene oder eine Achterbahn, die durch eine oder mehrere Bedingungen φ b (x) = 0,
b = 1, 2 . . ., gegeben sei. Bahnen f, die in dieser Untermannigfaltigkeit verlaufen, haben
Tangentialvektoren v, die, wie Differenzieren der Zwangsbedingungen φ b = 0 zeigt,
durch
d t φ b = v i ∂ i φ b = 0 (10.21)
eingeschränkt sind, also senkrecht auf den Gradienten der Nebenbedingungen stehen.
Die Zwangskraft steht überall senkrecht auf den möglichen Geschwindigkeiten von Teilchen,
die sich in der Untermannigfaltigkeit bewegen, v i F iZwang = 0, und ist daher eine
Linearkombination dieser Gradienten (8.6)
F iZwang = ∑ b
λ b ∂ i φ b (10.22)
mit Koeffizienten λ b , die vom Ort und der Geschwindigkeit abhängen. Da v i F iZwang
verschwindet, gilt d t E = v i (m b i + ∂ i V − F iZwang ) , auch wenn zu den Newtonschen
Gleichungen für Bewegung im zeitunabhängigen Potential noch die Zwangskräfte hinzu
kommen. Zwangskräfte zeitunabhängiger Nebenbedingungen verändern nicht die Energiebilanz,
sie leisten keine Arbeit. Ebenso ändern Magnetkräfte ⃗F Magnet = q⃗v × ⃗B zwar
den Impuls, nicht aber die Energie, denn sie stehen senkrecht auf ⃗v, ⃗v ·⃗F Magnet = 0.
Impulserhaltung
Ist das Potential unter Verschiebungen δx i = c i invariant, c i ∂ i V = 0, so verschwindet
die Kraft in dieser Richtung, c i F i = 0. Die Wirkung ist unter dieser Verschiebung
invariant, und der Impuls
p i = m v i (10.23)
ist in Richtung ⃗c erhalten,
d t
(
c i m v i) = c i ( m b i + ∂ i V ) = c i G i . (10.24)
Ein Zweiteilchenpotential V(⃗x 1 − ⃗x 2 ), das nur von der Differenz der Teilchenorte abhängt,
ist invariant unter gleicher Verschiebung beider Teilchen, δx i 1 = δx i 2 = c i . Diese