Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

94 10 Erhaltungsgrößen und Symmetrien
In den folgenden Beispielen sind die Transformationen der Bahnen die zu Transformationen
des Urbilds und des Bildraumes adjungierten Transformationen (3.108).
Die Zeittranslationen um −λ bilden jede Bahn f auf die Bahn
f λ : t ↦→ f(t + λ) (10.4)
ab, die die Bahnpunkte von f um λ früher durchläuft, etwa den Punkt f(0) zur Zeit
t 0 = −λ.
Für einen mit Geschwindigkeit −λ⃗u bewegten, nichtrelativistischen Beobachter liegen
Galilei-transformierte Bahnen vor (6.9),
f λ : t ↦→ ⃗f(t, λ) = ⃗x(t) + λ⃗ut . (10.5)
Räumliche Verschiebungen um λ⃗c bilden Punkte und damit Bahnen ab auf
f i (t, λ) = f i (t) + λ c i . (10.6)
Streckungen vergrößern alle kartesischen Koordinaten um denselben Faktor
f i (t, λ) = e λ f i (t) . (10.7)
Drehungen um eine Achse ⃗n, ⃗n 2 = 1, um einen Winkel λ (2.43) bilden die Punkte ⃗x
und damit auch Bahnen ⃗f auf
⃗x(λ) = ⃗x ‖ + (cosλ)⃗x ⊥ + (sin λ) ⃗n ×⃗x ⊥ (10.8)
ab. Hierbei bezeichnen ⃗x ‖ = ⃗n (⃗n ·⃗x) und ⃗x ⊥ = ⃗x − ⃗n (⃗n ·⃗x) den zur Drehachse ⃗n
parallelen und senkrechten Anteil von ⃗x.
Die Parametrisierung der Transformationen ist so gewählt, daß zu verschwindendem
Transformationsparameter, λ = 0, jeweils die identische Abbildung gehört, T 0 f = f, und
daß sie hintereinander ausgeführt eine einparametrige Gruppe T λ ◦ T λ ′ = T λ+λ ′ bilden.
Die Bahn, die ein Punkt auf f λ bei fester Zeit t als Funktion des Transformationsparameters
λ durchläuft, f Orbit : λ → f(t, λ), nennen wir den Orbit durch f(t, 0) und den
anfänglichen Tangentialvektor an den Orbit
∂f i (t, λ)
∂λ | λ=0
(10.9)
die infinitesimale Transformation. Sie heißt lokal, wenn sie sich, wie in allen obigen
Beispielen, für alle Kurven f als Jetfunktion δx i (t, x, v) der Zeit t, des Ortes x und der
Geschwindigkeit v, ausgewertet auf der Bahn ˆf : t ↦→ (t, f(t), ḟ(t), . . .), schreiben läßt,
δx i ◦ ˆf = ∂fi (t, λ)
∂λ | λ=0
. (10.10)
Beispielsweise ist
δx i = v i (10.11)