Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

10 Erhaltungsgrößen und Symmetrien
Eine Erhaltungsgröße, wie zum Beispiel die Energie oder der Impuls, ist eine Jetfunktion
Q, die auf physikalischen Bahnen ihren anfänglichen Wert behält (9.1)
d t Q ◦ ˆf phys = d dt(
Q ◦ ˆfphys
)
= 0 . (10.1)
Für die Jetfunktion d t Q heißt dies, daß sie ein Vielfaches der Bewegungsfunktionen G i
sein muß, die die physikalischen Bahnen charakterisieren: es muß zu Q gehörige Jetfunktionen
δx geben, mit denen sich d t Q als Linearkombination der Bewegungsfunktionen
schreiben läßt,
d t Q + δx i G i = 0 . (10.2)
Die Gleichung ist hinreichend, denn G i ◦ˆf phys verschwindet nach Definition der physikalischen
Bahnen (7.4), demnach ist d t Q◦ˆf phys = 0. Für Funktionen Q des Jetraumes J 1 ist
die Gleichung auch notwendig, denn in d t Q können wir alle Variablen b = x (2) durch die
Bewegungsfunktionen G ausdrücken. Verbliebe dann ein Rest und wäre d t Q+δx i G i = R
mit einer nichtverschwindende Jetfunktion R von J 1 , so könnte man ihr durch Wahl der
anfänglichen Orte und Geschwindigkeiten einen nichtverschwindenden Wert geben, und
die vermeintliche Erhaltungsgröße Q würde sich schon anfänglich auf physikalischen
Bahnen ändern.
Wir formulieren die Eigenschaft einer Erhaltungsgröße, sich auf physikalischen Bahnen
nicht mit der Zeit zu ändern, ausführlich als d t Q+δx i G i = 0 und beschränken uns
nicht auf physikalische Bahnen, auf denen die Bewegungsfunktionen G i verschwinden.
Denn die zur Erhaltungsgröße Q gehörigen Koeffizientenfunktionen δx i haben geometrische
Bedeutung, können aber nur aus d t Q abgelesen werden, wenn man nicht die
Bewegungsgleichungen verwendet. Wie wir sehen werden, gehören die Funktionen δx i
für jede Erhaltungsgröße zu einer infinitesimalen Symmetrie und zu jeder infinitesimalen
Symmetrie gehört eine Erhaltungsgröße Q .
Dieser Zusammenhang ist deshalb wesentlich, weil die geometrische Eigenschaft, daß
eine Symmetrie vorliegt, häufig offensichtlich ist und man daher einfache, zeitunabhängige
Größen dem Bewegungsproblem ansehen kann.
Um zu definieren, was wir unter einer infinitesimalen Symmetrien verstehen, legen wir
zunächst den Sprachgebrauch fest und erklären, was kontinuierliche Transformationen
von Bahnen f : t ↦→ f(t) sind. Kontinuierliche Transformationen T λ hängen stetig differenzierbar
von einem reellen Parameter ab und bilden Bahnen f invertierbar auf Bahnen
f λ ab,
T λ : f ↦→ f λ , f λ : t ↦→ f(t, λ) . (10.3)