Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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90 9 Energie und Impuls Trägheit schneller Teilchen ist richtungsabhängig. Wirkt die Kraft quer zu ⃗v, ist die Beschleunigung d⃗v ⊥ /dt = √ 1 − v 2⃗ F ⊥ /m; in Richtung der Geschwindigkeit ist das Teilchen um den Faktor 1/(1−v 2 ) träger. Auch masselose, lichtschnelle Teilchen sind träge, d⃗v ⊥ /dt = ⃗F ⊥ /|⃗p|, in Bewegungsrichtung sogar unendlich träge, d⃗v ‖ /dt = 0. Bei der Bewegung mechanischer Anordnungen sind, lange bevor relativistische Auswirkungen meßbar werden, Korrekturen wichtig, die die endliche Schallgeschwindigkeit in den Körpern, die ja nicht ideal starr sind, berücksichtigen. Bei hohen Relativgeschwindigkeiten werden die Kräfte auf ein Teilchen durch Stöße mit anderen Teilchen bewirkt, die durch Energie- und Impulserhaltung eingeschränkt sind, und durch Wechselwirkung mit Feldern, wie dem elektromagnetischen Feld oder dem gravitativen Feld, der Metrik. Zerfall in zwei Teilchen Zerfällt ein ruhendes Teilchen der Masse M in zwei Teilchen mit Massen m 1 und m 2 , so sind die Energien der Zerfallsprodukte durch die beteiligten Massen festgelegt. Wegen der Impulserhaltung ist der Impuls ⃗p des ersten Zerfallsproduktes dem Impuls des zweiten Teilchens entgegengesetzt gleich. Ihre Energien sind E 1 = √ m 12 + ⃗p 2 und E 2 = √ m 22 + ⃗p 2 , denn Energie und Impuls liegen auf der Massenschale (9.20). Die Energieerhaltung besagt, daß die Summe dieser Energien mit der Energie M des ruhenden, zerfallenden Teilchens übereinstimmt M = √ m 12 + ⃗p 2 + √ m 22 + ⃗p 2 > m 1 + m 2 . (9.25) Insbesondere ist die Masse M des zerfallenden Teilchens größer als die Summe der Massen der Zerfallsprodukte. Dies ist, wie beim Zwillingsparadoxon, der geometrische Sachverhalt, daß die Summe zweier zeitartiger Vierervektoren p 1 + p 2 länger als die Summe der Längen der einzelnen Summanden ist. Wiederholtes Quadrieren und Umformen ergibt ⃗p 2 = 1 + m 4 4M 2(M4 1 + m 4 2 − 2M 2 m 2 1 − 2M 2 m 2 2 − 2m 2 1 m 2 2 ) , (9.26) E 1 = 1 2M (M2 − m 2 2 + m 2 1 ) . (9.27) Compton-Streuung Energie- und Impulserhaltung legen bei elastischer Streuung zweier Teilchen, also bei einem Streuprozeß, bei dem die Zahl der Teilchen und ihre Massen unverändert bleiben, die Energien nach dem Stoß als Funktion des Streuwinkels und der anfänglichen Energien fest. Betrachten wir beispielsweise ein Photon, das mit Energie E einfällt und elastisch an einem zunächst ruhenden Elektron gestreut wird. Dieser Prozeß heißt Compton- Streuung.
91 Seien p (1) und p (2) die Viererimpulse von Photon und Elektron vor der Streuung und p ′ (1) und p′ (2) nachher. Viererimpulserhaltung besagt p (1) + p (2) = p ′ (1) + p ′ (2) , (9.28) oder ausführlicher, wenn man die x-Achse in Bewegungsrichtung des Photons vor dem Stoß wählt und die y-Achse so, daß sich das um den Winkel θ gestreute Photon in der x-y-Ebene bewegt, im Maßsystem c = 1, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ E m E ′ m + E − E ′ ⎜E ⎟ ⎝0⎠ + ⎜ 0 ⎟ ⎝ 0 ⎠ = ⎜E ′ cosθ ⎟ ⎝E ′ sin θ⎠ + ⎜E − E ′ cosθ ⎟ ⎝ −E ′ sin θ ⎠ . (9.29) 0 0 0 0 Hierbei ist schon berücksichtigt, daß auch das gestreute Photon mit Energie E ′ masselos ist und p ′2 (1) = 0 erfüllt. Die Bedingung p (2) ′ 2 = m 2 , daß nach der Streuung der Viererimpuls des Elektrons auf der Massenschale liegt, besagt (m + E − E ′ ) 2 − (E − E ′ cosθ) 2 − (E ′ sin θ) 2 = m 2 (9.30) und nach Ausmultiplizieren, einfachem Umformen und Einfügen der konventionellen Faktoren c m c 2 = m c2 + 1 − cosθ . (9.31) E ′ E Die Energie E ′ des auslaufenden Photons ist also durch den Streuwinkel festgelegt. Sie ist kleiner als die Energie E des einlaufenden Photons. Dies widerspricht der Vorstellung, daß die zum Photon der Energie E = ̷hω gehörige, einfallende elektromagnetische Welle das geladene Elektron beschleunigt, das dann seinerseits eine Welle mit den gestreuten Photonen abstrahlt. Bei solch einem Prozeß würde die Frequenz der abgestrahlten Welle mit der ursprünglichen Frequenz übereinstimmen. Gleichung (9.31) hingegen ergibt sich aus der Annahme, daß Elektronen Teilchen sind und daß elektromagnetische Wellen aus Teilchen, nämlich Photonen, bestehen. Sie ist aber kein Beweis für die Teilcheneigenschaft elektromagnetischer Wellen. Man gelangt ebenfalls zu (9.31), wenn man – was wir nicht getan haben – sowohl das Elektron als auch das Photon als Welle behandelt. Daß je nach betrachtetem physikalischen Prozeß Wellen sich teilchenartig verhalten und Teilchen Welleneigenschaften haben, gehört zu den Grundlagen der Quantenphysik.
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Seien p (1) <strong>und</strong> p (2) die Viererimpulse von Photon <strong>und</strong> Elektron vor <strong>der</strong> Streuung <strong>und</strong><br />
p ′ (1) <strong>und</strong> p′ (2)<br />
nachher. Viererimpulserhaltung besagt<br />
p (1) + p (2) = p ′ (1) + p ′ (2) , (9.28)<br />
o<strong>der</strong> ausführlicher, wenn man die x-Achse in Bewegungsrichtung des Photons vor dem<br />
Stoß wählt <strong>und</strong> die y-Achse so, daß sich das um den Winkel θ gestreute Photon in <strong>der</strong><br />
x-y-Ebene bewegt, im Maßsystem c = 1,<br />
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⎟<br />
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⎟<br />
⎝ 0 ⎠ = ⎜E ′ cosθ<br />
⎟<br />
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⎟<br />
⎝ −E ′ sin θ ⎠ . (9.29)<br />
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Hierbei ist schon berücksichtigt, daß auch das gestreute Photon mit Energie E ′ masselos<br />
ist <strong>und</strong> p ′2<br />
(1) = 0 erfüllt. Die Bedingung p (2) ′ 2 = m 2 , daß nach <strong>der</strong> Streuung <strong>der</strong><br />
Viererimpuls des Elektrons auf <strong>der</strong> Massenschale liegt, besagt<br />
(m + E − E ′ ) 2 − (E − E ′ cosθ) 2 − (E ′ sin θ) 2 = m 2 (9.30)<br />
<strong>und</strong> nach Ausmultiplizieren, einfachem Umformen <strong>und</strong> Einfügen <strong>der</strong> konventionellen<br />
Faktoren c<br />
m c 2<br />
= m c2<br />
+ 1 − cosθ . (9.31)<br />
E ′ E<br />
Die Energie E ′ des auslaufenden Photons ist also durch den Streuwinkel festgelegt. Sie<br />
ist kleiner als die Energie E des einlaufenden Photons. Dies wi<strong>der</strong>spricht <strong>der</strong> Vorstellung,<br />
daß die <strong>zu</strong>m Photon <strong>der</strong> Energie E = ̷hω gehörige, einfallende elektromagnetische Welle<br />
das geladene Elektron beschleunigt, das dann seinerseits eine Welle mit den gestreuten<br />
Photonen abstrahlt. Bei solch einem Prozeß würde die Frequenz <strong>der</strong> abgestrahlten Welle<br />
mit <strong>der</strong> ursprünglichen Frequenz übereinstimmen. Gleichung (9.31) hingegen ergibt sich<br />
aus <strong>der</strong> Annahme, daß Elektronen Teilchen sind <strong>und</strong> daß elektromagnetische Wellen aus<br />
Teilchen, nämlich Photonen, bestehen.<br />
Sie ist aber kein Beweis für die Teilcheneigenschaft elektromagnetischer Wellen. Man<br />
gelangt ebenfalls <strong>zu</strong> (9.31), wenn man – was wir nicht getan haben – sowohl das Elektron<br />
als auch das Photon als Welle behandelt. Daß je nach betrachtetem physikalischen Prozeß<br />
Wellen sich teilchenartig verhalten <strong>und</strong> Teilchen Welleneigenschaften haben, gehört <strong>zu</strong><br />
den Gr<strong>und</strong>lagen <strong>der</strong> Quantenphysik.
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