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5.4. Lineare Beispiele nachhaltiger Fischerei
5.4.2. Berechnung optimaler Fangzeiten
Nun unterteilen wir ein Jahr in vier gleichlange Zeitabschnitte und verlangen, dass
die Populationsgrößen am Anfang jedes Jahres und am Ende des Jahres gleich sein
müssen. Die Gleichungen für die Populationsentwicklung übernehmen wir von dem
Döring-Modell.
Es entsteht das System (5.6) mit x 1 (0) = 0.58, x 2 (0) = 0.71, x 3 (0) = 0.69
und denselben Endwerten. Wichtig dabei ist eine Konkurenz-Wechselwirkung beim
Dorsch, der hier zwar als Räuber auftritt, aber einen Teil der Population durch
das Fressen der Eier von anderen Fischarten verliert und Hering und Sprotte, die
Beutefische sind und durch die Lotka-Volterra-Beziehungen reduziert werden.
Bei folgenden Modellen gehen wir von der Überlegung aus, dass es den ganzen Jahr
(365 Tage und nicht 250 Tage, wie früher) gefangen werden darf.
J (u) =
∫ T
0
{
1130 · u 1 (t) · 1.5 · 365 · x1(t) + 270 · u
1 2 (t) · 6.4 · 365 · x2(t)
1.2
+460u 3 (t) · 6.4 · 365 · x3(t)
1.3 − 500 · 365 · 3∑
J (u) → max
u
0 ≤ u 1 (t) + u 2 (t) + u 3 (t) ≤ 1900, 0 ≤ t ≤ 1,
0 ≤ u i (t) ≤ 900, 0 ≤ t ≤ 1, i = 1, 2, 3,
i=1
u i (t)
}
e −0.06t dt
(5.6)
mit Nebenbedingungen:
ẋ 1 (t) = 0.4x 1 (t) · (1 − x 1 (t)) − 1.5 · 365 · u 1 (t) · x1(t)
10 6
−0.02 · x1(t)x 2 (t)
− 0.02 · x1(t)x 3 (t)
1.2 1.3
(
ẋ 2 (t) = 0.6x 2 (t) ·
1 − x 2(t)
1.2
−0.0125 · x1(t)x 2 (t)
(
ẋ 3 (t) = 0.6x 3 (t) ·
)
− 6.4 · 365 · u 2 (t) ·
− 0.01 · x2(t)x 3 (t)
1.2 1.56
)
1 − x 3(t)
− 6.4 · 365 · u
1.3
3 (t) ·
−0.0125 · x1(t)x 3 (t)
1.3
− 0.01 · x2(t)x 3 (t)
1.56
.
x 2 (t)
1.2·10 6
x 3 (t)
1.3·10 6
Die Simulationen auf Abb. 5.12, 5.13, 5.14 zeigen, dass die optimale Fangwerte so
nachhaltig gehalten können, dass die Populationen ihre Ausgangsgrößen zum Ende
des Jahres wieder erreichen. Dabei können ca. 124.655 Mio. Euro pro Jahr erzielt
werden.
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