disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5.3. Indirekte Methoden
Die stetige Lösung z(t) des ursprünglichen Randwertproblems soll aus der Lösungen
z(t, t i , p i ) der einzelnen Anfangswertprobleme zusammengesetzt werden, dies
bedeutet
z(t) = z(t, t i , p i ), t i ≤ t ≤ t i+1 , i = 0, . . . , N − 1.
Es gelten also die Bedingungen
z(t i+1 , t i , p i ) = p i+1 , i = 0, 1, . . . , N − 1,
ψ(p 0 , z(t N , t N−1 , p N−1 )) = 0.
Mit der Bezeichnung p = (p 0 , p 1 , . . . , p N−1 ) ist also eine Nullstelle der Funktion
⎛
⎞
z(t 1 , t 0 , p 0 ) − p 1
F (p) = ⎜
.
⎟
⎝ z(t N−1 , t N−2 , p N−2 ) − p N−1
⎠
ψ(p 0 , z(t N , t N−1 , p N−1 ))
(5.5)
zu finden. Hierzu lässt sich z.B. wieder das Newton–Verfahren verwenden. In jedem
Iterationsschritt sind N Anfangswerte zu lösen.
Außerdem erfordert die numerische Approximation der Jacobi–Matrix J(F (p))
weitere Lösungen von Anfangswertproblemen. Es existieren jedoch ausgereifte
Techniken zur Reduzierung dieses Rechenaufwands. So wird in der Regel nicht
die Jacobi–Matrix eingesetzt, sondern eine leicht zu berechnende Näherungsmatrix.
Das Mehrfach-Schießverfahren hat sich als zuverlässiges Verfahren zur Lösung von
Randwertproblemen erwiesen.
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