disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung
Optimierungsproblem, welches ebenfalls mit dem SQP-Verfahren gelöst wird.
Matthias Gerdts entwickelte das Fortran-77-Paket OC-ODE (Optimal Control
of Ordinary-Differential Equations) für die numerische Lösung der optimalen
Steuerung. OC-ODE ermittelt numerische Lösungen eines Optimalsteuerproblems.
Das Zielfunktional wird als einfaches Mayer-Funktional gefordert.
Das Programm ermöglicht eine numerische Schätzung der Steuerungen mittels des
direkten Schießverfahrens. Die Steuerung u wird in dem Programm in den Punkten
G i = {t 1 , t 2 , . . . , t N }, N ≥ 2
approximiert. Sei k ∈ N, k ≥ 1 und die Folge τ 1 , τ 2 , . . . , τ N+2k−2 :
⎧
τ 1 = . . . = τ k = t 1 ,
⎪⎨ τ k+1 = t 2 ,
.
τ N+k−2 = t N−1 ,
⎪⎩
τ N+k−1 = . . . = τ N+2k−2 = t N .
Definition 5.1 Eine wie folgt definierte Funktion B ik (·) für i = 1, . . . , N + k − 2:
heißt B-spline.
{ 1, falls τi ≤ t ≤ τ
B i1 (t) =
i+1 ,
0, sonst;
B ik (t) =
t − τ i
B i,k−1 (t) + τ i+k − t
B i+1,k−1 (t).
τ i+k−1 − τ i τ i+k − τ i
Eine Spline-Kurve, deren Darstellung auf B-Splines beruht, nennt man B-Spline-
Kurve. Bestimmt wird die Kurve durch sogenannte De-Boor-Punkte c i ∈ R m , für
i = 1, . . . , N + k − 2, mit denen sich das Aussehen der Kurve steuern lässt. Die
Steuerfunktionen u wird durch die
u N (t) = u N (t, c 1 , c 2 , . . . , c N+k−2 ) =
N+k−2
∑
i=1
c i B ik (t)
ersetzt.
In Speziallfällen k = 1 und k = 2 sind diese De-Boor-Punkte die Funktionswerte
c i = u N (t i ) ≈ u(t i ). Für k = 1 ist u N (·) stückweise konstant. Für k = 2 ist die
Funktion u N (·) stetig und stückweise linear
u N (t) = u i +
t − t i
t i+1 − t i
(u i+1 − u i ), t ∈ [t i , t i+1 ], i = 1, . . . , N − 1.
Für k > 2 ist u N (·) (k − 2) mal stetig differenzierbar.
Für die Zustände
G x = {¯t 1 , ¯t 2 , . . . , ¯t M , ¯t M+1 }, M ≥ 1
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