disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald
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5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung u app t k t k+1 t x app x(t k+1/2) t k t k+1/2 t k+1 t Abbildung 5.2.: Stückweise lineare Approximation der Steuerung (oben) und stückweise kubische Approximation der Trajektorie (unten) Nutzt man die Stetigkeitsbedingungen und die Differenzierbarkeit an den Punkten t k , k = 1, N − 1, so bekommt man die Unbekannten c q (k) als Funktionen von x(t k ), x(t k+1 ), u(t k ) und u(t k+1 ): c 0 (k) = x(t k ), c 1 (k) = h k f k , c 2 (k) = 3[x(t k+1 ) − x(t k )] − h k [f k+1 + 2f k ], c 3 (k) = −2[x(t k+1 ) − x(t k )] + h k [f k+1 + f k ]. Dabei ist f k = f(x(t k ), u(t k ), t k ), k = 1, . . . , N − 1. 86
5.2. Direkte Methoden Weiterhin muss die Kollokationsbedingung: f(x app (t k+ 1 2 ), u app (t k+ 1 2 ), t k+ 1 2 ) − ẋ app (t k+ 1 ) = 0 2 für k = 1, . . . , N − 1 gelten. Hier wird der Ausdruck ẋ app (t k+ 1 ) durch 2 ẋ app (t k+ 1 ) = c 1 (k) + 2c 2 (k) ( ) t 2 h k h 2 k+ 1 − t k + 3c 3 (k) ( ) 2 t 2 k h 3 k+ 1 − t k 2 k = c 1 (k) h k = c 1 (k) h k + 2c 2 (k) h 2 k + c 2 (k) h k · hk 2 + 3c 3 (k) · h2 k h 3 k 4 + 3c 3 (k) 4h k = h k f k h k + 3[x(t k+1) − x(t k )] − h k [f k+1 + 2f k ] h k + −6[x(t k+1) − x(t k )] + 3h k [f k+1 + f k ] 4h k = f k + 3[x(t k+1) − x(t k )] 2h k − [f k+1 + 2f k ] + 3 4 · [f k+1 + f k ] = 3[x(t k+1) − x(t k )] − 1 2h k 4 · [f k+1 + f k ] ersetzt. Daraus resultiert das endlich-dimensionale nichtlineare Optimierungsproblem: Minimiere J(Y ) = J(x(t N )), mit Y = (x(t 1 ), u(t 1 ), . . . , x(t N ), u(t N )) T ∈ R N(n+m) , und Kollokationsbedingung: f(x app (t k+ 1 2 ), u app (t k+ 1 2 für k = 1, . . . , N − 1. ), t k+ 1 ) − 2 ( 3[x(tk+1 ) − x(t k )] − 1 ) 2h k 4 · [f k+1 + f k ] = 0, Werden bei einer Optimalsteuerungsaufgabe zusätzliche Nebenbedingungen gestellt, so werden diese Bedingungen an den diskreten Punkten t k , 1, . . . , N − 1 ausgewertet. Die Eingabe erfolgt über FORTRAN-Subroutinen USRSTV und USROBJ, die Dimensionen des Problems und jeweilige Zustands- und Steuerbeschränkungen werden durch DATDIM und DATLIM ermittelt (genauere Beschreibung im Anhang A.3 zu finden). 5.2.2. Direktes Schießverfahren Das direkte Schießverfahren diskretisiert nur die Steuerung und erzeugt mit der folgenden numerischen Integration der Differentialgleichung ein nichtlineares 87
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5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung<br />
u app<br />
t k<br />
t k+1<br />
t<br />
x app<br />
x(t k+1/2)<br />
t k<br />
t k+1/2<br />
t k+1<br />
t<br />
Abbildung 5.2.: Stückweise lineare Approximation der Steuerung (oben) und stückweise<br />
kubische Approximation der Trajektorie (unten)<br />
Nutzt man die Stetigkeitsbedingungen und die Differenzierbarkeit an den Punkten<br />
t k , k = 1, N − 1, so bekommt man die Unbekannten c q (k) als Funktionen von x(t k ),<br />
x(t k+1 ), u(t k ) und u(t k+1 ):<br />
c 0 (k) = x(t k ),<br />
c 1 (k) = h k f k ,<br />
c 2 (k) = 3[x(t k+1 ) − x(t k )] − h k [f k+1 + 2f k ],<br />
c 3 (k) = −2[x(t k+1 ) − x(t k )] + h k [f k+1 + f k ].<br />
Dabei ist f k = f(x(t k ), u(t k ), t k ), k = 1, . . . , N − 1.<br />
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