disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5.2. Direkte Methoden
5.2.1. Direkte Kollokation
Bei direkten Kollokationsmethoden werden sowohl Steuerungen als auch
Zustandsvariablen diskretisiert. Mittels der Approximation von stetigen
(zumindest stückweise) Funktionen durch stückweise Polynome wird das
unendlich-dimensionale Optimalsteuerungsproblem in ein endlich-dimensionales
nichtlineares Optimierungsproblem umgeformt. Die Auswertung von notwendigen
Optimalitätsbedingungen für die Funktionenräume ist damit nicht erforderlich.
Das Grundprinzip des Verfahrens besteht darin, dass die Verläufe der Zustands- und
Steuergrößen durch Ansatzfunktionen beschrieben werden. Im Weiteren wird dieses
endlich-dimensionale Optimierungsproblem mit Hilfe von Kollokationsbedingungen
an den gewählten Diskretisierungspunkten gelöst.
Ein Beispiel ist das DIRCOL-Programm von Oskar v. Stryk, in dem stückweise
kubische Ansatzfunktionen für die Zustandsvariablen und stückweise lineare
Steuerungen implementiert werden [37], [38]. Somit transformiert DIRCOL
kontinuierliche Optimalsteuerungsprobleme in diskrete Optimierungsprobleme und
löst sie dann mit Hilfe eines SQP-Solver wie NPSOL.
Wir betrachten die Standard-Aufgabe (3.1). Im Zeitintervall [t 0 , T ] wähle man
Diskretisierungspunkte
t 0 := t 1 < t 2 < . . . < t N =: T.
Die Optimierungsvariable Y besteht aus Steuerungen u(t) und Zuständen x(t) an den
Gitterpunkten t k , k = 1, . . . , N:
Y = [x(t 1 ), u(t 1 ), . . . , x(t N ), u(t N )] ∈ R N(n+m) .
Für t k < t < t k+1 , k = 1, . . . , N − 1 wird die Steuerung als eine stückweise lineare
Funktion zwischen u(t k ) und u(t k+1 ) angenommen (s. Abb. 5.2):
u app (t) = u(t k ) + (t − t k ) u(t k+1) − u(t k )
t k+1 − t k
, k = 1, . . . , N − 1.
Die Zustände werden durch durch eine stückweise kubische, stetig differenzierbare
Funktion x app (t) approximiert. Mit h k = t k+1 − t k erhalten wir:
x app (t) =
3∑
q=0
( ) q
(k) t − tk
c q , t ∈ [t k , t k+1 ], k = 1, . . . , N − 1.
h k
85