disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung
Pontrjaginsche Maximumprinzip) zurückgreifen, denen die optimale Lösung genügen
muss.
Diese Verfahren benötigen die Kovariablen, die Hamilton-Funktion und das
Maximumprinzip in der Gestalt, die im Satz 4.1 formuliert worden ist. Häufig wird
bei indirekten Methoden das Steuerungsproblem als nichtlineare Randwertaufgabe
betrachtet, welche durch Eliminieren der Steuerung mit den notwendigen
Optimalitätsbedingungen der ursprünglichen Aufgabe entstanden ist. Auf dieser
Basis wurde eine Reihe von Software (so etwa wie BNDSCO) entwickelt, bei der
das mehrfache Schießverfahren („multiple shooting technique“) für die Lösung von
nichtlinearen Randwertaufgaben benutzt wird. Hier werden also die notwendigen
Optimalitätsbedingungen im (unendlich-dimensionalen) Funktionenraum ausgenutzt,
anschließend muss für die numerische Lösung des Randwertproblems diskretisiert
werden.
Direkte Methoden dagegen behandeln das Steuerungsproblem sofort als eine
approximierende Optimierungsaufgabe (siehe Abb. 5.1) in einem entsprechenden
endlich-dimensionalen Raum. Diese Methoden benötigen keine Information
über die adjungierten Variablen und erfordern minimale Kenntnisse über das
Optimierungsproblem und entsprechend kaum Vorbereitungen. Eine übliche Klasse
numerischer Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen bildet
das sogenannte Kollokationsverfahren, das im Weiteren erklärt wird.
Der Nachteil bei der indirekten Methode ist die Tatsache, dass für jedes
Optimalsteuerungsproblem Kenntnisse über das Verhalten der Lösung, z.B. durch die
Struktur des Maximumprinzips (durch die adjungierten Variablen und die Hamilton-
Funktion) bekannt sein müssen. Außerdem konvergiert das mehrfache Schießverfahren
nur bei sehr guten Startlösungen.
5.2. Direkte Methoden
Die direkte Methode ist eine Zusammensetzung aus einer endlich-dimensionalen
Approximation und einem Optimierungsalgorithmus. Wir wollen uns überlegen, wie
man ein kontinuierliches Kontrollsystem durch ein diskretes System approximieren
kann.
In der Theorie verwendet man in der Regel zwei Vorgehensweisen zum
direkten Lösen von Optimalsteuerungsaufgaben: direkte Kollokation und direktes
Schießverfahren. Bei den beiden entstehen nichtlineare Optimierungsaufgaben, die
durch notwendige Bedingungen (z.B. SQP-Methode) gelöst werden.
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