disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4.6. Berechnung optimaler Fangraten
0.75
State 1 vs time
900
Control 1 vs time
0.7
800
0.65
700
state 1
0.6
0.55
control 1
600
500
0.5
400
0.45
300
0.4
0 5 10 15 20
t
200
0 5 10 15 20
t
Abbildung 4.5.: Optimale Entwicklung der Population (links), optimale Steuerung (rechts),
Fall x 1 (0) > x sing
1
4.6.2. Vorbetrachtung für einen mehrdimensionalen Fall
Nun betrachten wir ein aus n Populationen bestehendes System. Zu maximieren ist
jetzt
J (u) =
∫ T
0
{ n∑
i=1
p i u i x i − c ·
n∑
i=1
u i
}e −δt dt → max
u
0 ≤ u i (t) ≤ u max , 0 ≤ t ≤ T, i = 1, 2, . . . , n
(4.20)
mit n Nebenbedingungen (i = 1, 2, . . . , n):
ẋ i (t) = ε i x i ·
(
1 − x i
K i
)
− s i u i x i −
n∑
γ ir x i x r , (4.21)
r=1
positiven Konstanten p i , c, ε i , K i , δ, s i , γ ir Anfangswerten x i (0) = x i0 und ohne
Endbedingungen. Wir diese Aufgabe bilden wir die Hamiltonfunktion:
{ n∑
H(x, u, λ, t) = p i u i x i − c ·
i=1
+
n∑
λ i
(ε i x i ·
i=1
n∑
i=1
(
1 − x i
K i
)
− s i u i x i −
u i
}
e −δt
)
n∑
γ ir x i x r .
r=1
Durch Differenzieren von Schaltfunktionen und Einsetzen der Adjungierten, erhalten
wir ein Gleichungssystem. Es enthält genau n Gleichungen.
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