disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4.6. Berechnung optimaler Fangraten
und
˙λ 1 = −p 1 u max e −δt − λ 1
(ε 1 − 2ε 1x 1
K 1
− s 1 u max
)
(
= −p 1 u max e −δt + λ 1 s 1 u max − λ 1 ε 1 − 2ε )
1x 1
K 1
(
< −p 1 u max e −δt + e −δt p 1 − c )
(
u max − λ 1 ε 1 1 − 2x )
1
x 1 K 1
(
= − ce−δt
u max − λ 1 ε 1 1 − 2x )
1
< 0
x 1 K 1
gelten würden. Damit wäre λ 1 (t) monoton fallend und es gäbe keine Umschaltpunkte.
Die Transversalitätsbedingung λ 1 (T ) = 0 wäre erfüllt, aber die Population würde
zu diesem Zeitpunkt eventuell gar nicht mehr vorhanden sein. Das heißt, im Falle
x 1 (0) = x 10 < x sing
1 muss zuerst die Steuerung u(t) = 0 auf dem Intervall [t 0 ; t 1 ]
angewendet werden, damit sich die Population erholt.
Falls x 1 (0) = x 10 > x sing
1 ist, kann die singuläre Steuerung im ersten Intervall
[t 0 ; t 1 ] = [0; t 1 ] ebenfalls nicht vorkommen. Würden wir in diesem Falle nicht fangen
(also mit u(t) = 0 steuern), würde die Population den maximalen Zustand erreichen.
Dies würde wiederum bedeuten, dass die durch die Prozessgleichung
(
ẋ 1 (t) = ε 1 x 1 (t) · 1 − x )
1(t)
, x 1 (0) = x 10 ,
K 1
K 1 x 10 e ε 1t
die x 1 (t) =
als Lösung besitzt, beschriebene Population den
K 1 + x 10 (e ε 1t
− 1)
Zustand x(t) = K 1 anstrebt. Dabei muss auch die Bedingung
gelten.
e −δt (p 1 x 1 − c) − λ 1 s 1 x 1 < 0,
Für die adjungierte Gleichung ergäbe sich damit
gdw. λ 1 > e−δt
s 1 x 1
(p 1 x 1 − c) ≥ 0
˙λ 1 = −λ 1
(ε 1 − 2ε ) (
1x 1
= −λ 1 ε 1 1 − 2x )
1
≥ 0.
K 1 K 1
Dieses würde zu Folge führen, dass λ 1 (t) auf dem ganzen Intervall [t 0 ; t 1 ] monoton
wächst (besser gesagt, nicht fällt) und t 1 kein Schaltpunkt sein könnte. t 1 könnte auch
kein Endpunkt T sein, da die Transversalitätsbedingung λ 1 (T ) = 0 offensichtlich nicht
erfüllt wäre. Dies alles führt uns zur Erkenntnis, dass im Falle x 1 (0) = x 10 > x sing
1 die
Steuerung u(t) = u max auf dem ganzen Intervall [t 0 ; t 1 ] genommen werden muss, bis
man den singulären Zustand erreicht.
Auf dem letzten Intervall [t n−1 ; t n ], t n = T (solange keine Endbedingung x 1 (T )
vorhanden ist) muss immer maximal gefangen werden, damit λ 1 (T ) = 0 erfüllt wird.
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