disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4. Grundlagen der Optimalsteuerung
berechnet werden kann. Diese Gleichung hat zwei Nullstellen verschiedener
Vorzeichen, da der Term − δcK 1
mit gegebenen Annahmen negativ ist. Wir
2p 1 ε 1
interessieren uns aber nur für die positive Lösung, die sich zu
√
x sing
1 = K 1
4 + c − K (K1
1δ
+
4p 1 4ε 1 4 + c − K ) 2
1δ
+ δcK 1
4p 1 4ε 1 2p 1 ε 1
ergibt. Zu diesem optimalen Zustand lässt sich unter Verwendung der
Prozessgleichung eine optimale Steuerung zu
( )
u ∗ 1(t) = u sing
1 = ε 1
1 − xsing 1
s 1 K 1
= ε 1
s 1
⎛
⎝ 3 4 −
c
4p 1 K 1
+
√ δ − 1 (K1
4ε 1 K 1 4 + c − K 1δ
4p 1
⎞
) 2
+ δcK 1
⎠
4ε 1 2p 1 ε 1
berechnen. Für unsere Modelle wählen wir u max hinreichend groß, so dass die
Bedingung u sing
1 < u max gilt (ein eindimensionaler Fall, wo die singuläre Steuerung
nicht zulässig ist, wäre trivial: eine optimale Lösung hätte in diesem Falle eine Bangbang-Struktur).
Nun zerlegen wir das gesamte Intervall [0; T ] in Teilintervalle [t i ; t i+1 ], so dass
auf jedem davon entweder eine Bang-bang-Steuerung oder eine singuläre Steuerung
auftritt. Im Allgemeinen gibt es kein Kriterium für das Vorkommen von Bang-bang
Steuerungen, es hängt in der Regel von dem Anfangswert x 10 ab.
Aus wirtschaftlichen Überlegungen führen wir an dieser Stelle eine zusätliche
Bedingung ein. Damit wir einen Gewinn auf dem gesamten Planungshorizont [0; T ]
anstreben, verlangen wir, dass ein gewisses Verhältnis zwischen Fischpreisen p 1 und
Kutterkosten c gewährleistet wird. Dementsprechend muss für alle Funktionswerte
x(t), t ∈ [0; T ] , die sich aus der Prozessgleichung (4.18) resultieren, die Bedingung
p 1 x 1 (t) − c ≥ 0 gelten, anders gesagt, die Fischpreise dürfen nicht zu niedrig sein.
Dies ist logisch, sonst hätten wir (zumindest auf einem Intervall [t k ; t k+1 ]) überhaupt
keinen Gewinn geleistet (vgl. (4.17)).
Falls x 1 (0) = x 10 < x sing
1 ist, kann die singuläre Steuerung im ersten Intervall
[t 0 ; t 1 ] = [0; t 1 ] nicht gewählt werden, da sonst x 1 (t) = x sing
1 wäre. Würden wir in
diesem Falle maximal (also mit u(t) = u max ) fangen (also alle Fischkutter einsetzen),
würde unsere Population auf den Nullzustand fallen. Das würde dazu führen, dass die
Formeln
e −δt (p 1 x 1 − c) − λ 1 s 1 x 1 > 0,
gdw. λ 1 < e−δt
s 1
(
p 1 − c x 1
)
,
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