disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4.6. Berechnung optimaler Fangraten
mit einer Nebenbedingung:
ẋ 1 (t) = ε 1 x 1 (t) ·
(
1 − x )
1(t)
− s 1 u 1 (t)x 1 (t), (4.18)
K 1
mit positiven Konstanten p 1 , c, ε 1 , K 1 , δ, s 1 , dem Anfangswert x 1 (0) = x 10 und ohne
Endbedingungen.
In diesem Fall kommen drei verschiedene Steuerungen, die man relativ leicht
berechnen kann, in Frage.
Die Hamiltonfunktion ist hier:
(
H(x, u, λ, t) =
{p 1 u 1 x 1 − c · u 1
}e −δt + λ 1 ε 1 x 1 ·
)
=
(e −δt (p 1 x 1 − c) − λ 1 s 1 x 1 u 1 + λ 1 ε 1 x 1 ·
Daher folgt die adjungierte Differentialgleichung:
(
1 − x 1
˙λ 1 = −H x1 = −p 1 u 1 e −δt − λ 1
(ε 1 − 2ε 1x 1
K 1
− s 1 u 1
)
.
Nun berechnen wir die Schaltfunktion
σ 1 (x, λ, t) = H u1 (x, u, λ, t) = e −δt (p 1 x 1 − c) − λ 1 s 1 x 1 .
) )
− s 1 u 1 x 1
K
( 1
1 − x )
1
.
K 1
Um die Hamiltonfunktion zu maximieren, muss für die optimale Steuerung
{
u ∗ u max , für e −δt (p 1 x 1 − c) − λ 1 s 1 x 1 > 0
1(t) =
0, für e −δt (p 1 x 1 − c) − λ 1 s 1 x 1 < 0,
gelten. Singuläre Steuerungen treten auf, falls gilt:
σ 1 (t) = σ 1 (x(t), λ(t), t) = 0 für t ∈ [t 1 , t 2 ] ⊆ [t 0 , T ],
(
⇐⇒ λ 1 (t) =
e−δt
s 1 x 1 (t) (p 1x 1 (t) − c) = e−δt
p 1 −
c )
.
s 1 x 1 (t)
Weiterhin ergibt sich aus der Bedingung
dσ 1
dt = −δe−δt (p 1 x 1 − c) + e −δt p 1 ẋ 1 − ˙λ 1 s 1 x 1 − λ 1 s 1 ẋ 1 = 0,
wobei ẋ 1 aus der Prozessgleichung und ˙λ 1 aus der adjungierten Gleichung eingesetzt
werden können, dass x ∗ 1(t) = x sing
1 mit Hilfe der quadratischen Gleichung
(
−2p 1 ε 1
x 2 1 + −δp 1 + p 1 ε 1 + cε )
1
x 1 + δc = 0,
K 1 K
( 1
bzw. x 2 K1 δ
1 + − K 1
2ε 1 2 − c )
x 1 − δcK 1
= 0
2p 1 2p 1 ε 1
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