disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4. Grundlagen der Optimalsteuerung
Im Falle der n Steuerungsintervalle erhalten wir eine analoge notwendige
Bedingung.
Zu maximieren sei das Zielfunktional:
J(u) =
unter den Nebenbedingungen
∑n−1
k=0
∫
t k+1
t k
g(t, x(t), u(t k ))dt + q(x(t n ))
ẋ(t) = f(t, x(t), u(t k )), t k ≤ t < t k+1 , x(t 0 ) = x 0 , u(t k ) ∈ Ω.
Seien u ∗ (·), x ∗ (·) optimal mit u ∗ (t) = u ∗ (t k ), x ∗ (t) = x(t, u ∗ (t k )), für k =
0, . . . , n − 1, dann folgt:
{
u ∗ (t k ) = arg max S(tk , u) + λ(t k , u) · x(t k ) } ,
u∈Ω
wobei S(t, v) die Lösung von
∂S(t, v)
− = H(x ∗ (t, v), v, λ(t, v), t) − ∂H(x∗ (t, v), v, λ(t, v), t)
x ∗ (t, v) (4.15)
∂t
∂x
und λ(t, v) die Lösung von
mit
˙λ(t, v) = − ∂
∂x H(x∗ (t, v), v, λ(t, v), t), ∀(t, v) ∈ [t k , t k+1 ) × Ω, (4.16)
x(t 0 , v) = x(t 0 ) = x 0 , x(t k , v) = x(t k ) = x(t k − 0, u ∗ (t k−1 )),
λ(t k − 0, v) = λ(t k , u ∗ (t k )), S(t k − 0, v) = S(t k , u ∗ (t k )) ist .
Die Tranversalitätsbedingungen
sind erfüllt.
λ(t n , v) = ∂q(x∗ (t n ))
,
∂x
S(t n , v) = − ∂q(x∗ (t n ))
· x ∗ (t n ) + q(x ∗ (t n ))
∂x
□
4.6. Berechnung optimaler Fangraten
4.6.1. Vorbetrachtung für den eindimensionalen Fall
Wir betrachten eine eindimensionale Aufgabe der Optimalsteuerung.
J (u 1 ) =
∫ T
0
{
}
p 1 u 1 (t)x 1 (t) − c · u 1 (t) e −δt dt → max
u
0 ≤ u 1 (t) ≤ u max , 0 ≤ t ≤ T,
(4.17)
76