disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4.5. Bellman-Prinzip
Beweis:
Wir betrachten die Gleichung (4.14):
∂S(t, v)
−
∂t
diese ist äquivalent zu:
∂S(t, v)
−
∂t
Es folgt aus (4.13):
= H(x ∗ (t, v), v, λ(t, v), t) − ∂H(x∗ (t, v), v, λ(t, v), t)
x ∗ (t, v),
∂x
= g(t, x ∗ (t, v), v)+λ(t, v)·f(t, x ∗ (t, v), v)− ∂H(x∗ (t, v), v, λ(t, v), t)
x ∗ (t, v).
∂x
∂S(t, v)
−
∂t
= g(t, x ∗ (t, v), v) + λ(t, v) · ẋ ∗ (t, v) + ˙λ(t, v) · x ∗ (t, v).
Wir integrieren diese Gleichung auf [t, t 1 ] und erhalten:
−S(t 1 , v) + S(t, v) =
∫ t 1
Aus dem vorigen Unterkapitel folgt
t
g(t, x ∗ (t), v) dt + λ(t 1 , v) · x ∗ (t 1 , v) − λ(t, v) · x ∗ (t, v).
∫ t 1
t
g(t, x(t, v), v) dt = W (t, x, v) − q(x ∗ (t 1 , v)) = W (t, x, v) − q(x ∗ (t 1 )).
Mit Hilfe der Transversalitätsbedingung erhalten wir:
−S(t 1 , v) = ∂q(x∗ (t 1 ))
· x ∗ (t 1 , v) − q(x ∗ (t 1 ))
∂x
= λ(t 1 , v) · x ∗ (t 1 , v) − q(x ∗ (t 1 )).
Es folgt:
oder
S(t, v) = W (t, x, v) − λ(t, v) · x(t, v)
W (t, x, v) = S(t, v) + λ(t, v) · x ∗ (t, v).
Da die Steuerung stückweise konstant gewählt wird, erhalten wir
û(t, x) = û(t 0 , x 0 ) = arg max
v∈Ω W (t 0, x 0 , v).
Durch x(t 0 , v) = x(t 0 ) = x 0 und bei einem gegebenen x 0 erhalten wir:
{
û(t 0 , x 0 ) = u ∗ (t 0 ) = arg max S(t0 , v) + λ(t 0 , v) · x(t 0 ) } .
v∈Ω
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