disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4.5. Bellman-Prinzip
die in der Form
∂W (t, x, v)
−
∂t
=
∂W (t, x, v)
f(t, x, v) + g(t, x, v).
∂x
geschrieben werden kann. Da die Gleichung W (t 0 , x, v) = J(v), v ∈ Ω (für diese
spezielle Aufgabe) gilt, kann die optimale Lösung durch die punktweise Maximierung
dieser berechneten Funktion W (t 0 , x, v) erhalten werden.
û(t 0 , x(t 0 )) = arg max
v∈Ω W (t 0, x(t 0 ), v).
Die Randbedingung W (t 1 , x(t 1 ), v) = q(x(t 1 )) folgt unmittelbar.
Im Falle mehrerer Steuerungsintervalle gilt die notwendige Bedingung analog. Es sei
u(t) = v = (v 0 , v 1 , . . . , v n−1 ) mit v k ∈ Ω, k = 0, . . . , n − 1. Die Funktion W (t, x, v)
wird dann für alle t ∈ [t n−1 ; t n ] als
W (t, x, v) =
∫ t n
und für alle t ∈ [t s−1 ; t s ], 1 ≤ s ≤ n − 1 als
W (t, x, v) =
t
g(τ, x(τ), v)dτ + q(x(t n )),
∫ t s
t
g(τ, x(τ), v)dτ
definiert. Dann folgt für alle t ∈ [t k−1 ; t k ], 1 ≤ k ≤ n:
û(t, x) = û(t k−1 , x(t k−1 )) = arg max W (t k−1, x(t k−1 )), v),
v∈Ω
∂W (t, x, v) ∂W (t, x, v)
− = f(t, x, v) + g(t, x, v),
∂t
∂x
W (t k − 0, x, v) = W (t k , x, û(t k , x)), 1 ≤ k < n,
W (t n − 0, x, v) = q(x(t n )), ∀v ∈ Ω.
Die hinreichende Bedingung lässt sich analog dem Fall einer stückweise stetigen
Steuerung formulieren und beweisen.
Satz 4.9 Hinreichende Bedingung.
Wenn es auf [t 0 , T ] × R n × Ω eine reelle, stetig differenzierbare Funktion W (t, x, v)
gibt, die die Gleichung
∂W (t, x, v)
−
∂t
=
∂W (t, x, v)
f(t, x, v) + g(t, x, v),
∂x
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