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4. Grundlagen der Optimalsteuerung
und sei sie stetig differenzierbar.
Sei u ∗ (·) eine open-loop optimale Lösung von (4.12). Dann erfüllt die entsprechnede
closed-loop Lösung û(·, ·) für alle t ∈ [t 0 , t 1 ] die Bedingung
û(t, x(t)) = û(t 0 , x(t 0 )) = arg max
v∈Ω W (t 0, x(t 0 ), v),
und W (t, x, v) erfüllt die partielle Differentialgleichung:
∂W (t, x, v)
−
∂t
oder anders geschrieben:
∂W (t, x, v)
−
∂t
und
=
n∑
i=1
=
∂W (t, x, v)
f(t, x, v) + g(t, x, v)
∂x
∂W (t, x, v)
∂x i
f i (t, x, v)+g(t, x, v), ∀(t, x, v) ∈ [t 0 , t 1 )×R n ×Ω
W (t 1 , x(t 1 ), v) = q(x(t 1 )), x(t 1 ) ∈ R n .
Beweis:
Der Beweis folgt analog vom Satz 3.2. W (t + ∆t, x(t + ∆t), v) ist die Wertefunktion
für den Teil der Lösung, der zum Zeitpunkt t + ∆t mit dem Zustand x(t + ∆t) und
der konstanten Steuerung v beginnt.
Es gilt folgende Gleichung:
t+∆t ∫
W (t, x, v) = g(τ, x(τ), v)dτ + W (t + ∆t, x(t + ∆t), v).
t
Da W stetig differenzierbar vorausgesetzt wird und g stetig ist, kann die
t+∆t ∫
Approximation g(τ, x(τ), v)dτ = g(t, x(t), v))∆t + o(∆t) verwendet werden:
o(∆t)
mit lim
∆t→0 ∆t
t
W (t, x, v) = { g(t, x(t), v)∆t + W (t + ∆t, x(t + ∆t), v) } + o(∆t),
= 0. Laut des Satzes von Taylor ergibt sich:
W (t + ∆t, x(t + ∆t), v) =
W (t, x(t), v) + W t (t, x(t), v)∆t + W x (t, x(t), v)ẋ(t)∆t + o(∆t).
Setzt man dieses Ergebnis in die vorhergehende Gleichung ein, dividiert durch ∆t und
beachtet ẋ = f(t, x, v), so folgt für ∆t → 0 und für jedes fixierte t die partielle
Differentialgleichung
0 = g(t, x(t), v) + W t (t, x(t), v) + W x (t, x(t), v)f(t, x(t), v),
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