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4. Grundlagen der Optimalsteuerung
Satz 4.6 (Notwendige Bedingung).
Es existiere die Wertefunktion V (t, x) für das Problem (4.1) auf [t 0 , T ] × R n und sei
stetig differenzierbar: V x (t, x) = d V (t, x).
dx
Sei u ∗ (·) eine open-loop optimale Lösung von (4.1). Dann erfüllt die entsprechnede
closed-loop Lösung û(·, ·) die Bedingung
û(t, x) = arg max
u∈Ω H(t, x, u, V x(t, x)) für alle x ∈ R n und alle t ∈ [t 0 , T ]
und V (t, x) erfüllt die partielle Differentialgleichung:
−V t (t, x) = max
u∈Ω H(x, u, V x(t, x), t), t ∈ [t 0 , T ],
V (T, x T ) = q(x(T )).
Beweis:
Laut der Definition der Funktion V ist V (t + ∆t, x(t + ∆t)) die Wertefunktion für
den Teil der Lösung, der zum Zeitpunkt t + ∆t mit dem Zustand x(t + ∆t) beginnt.
Dann folgt für alle ∆t: ⎧ 0 ≤ ∆t ≤ T − t:
⎫
t+∆t
⎨ ∫
⎬
V (t, x) = max g(τ, x(τ), u(τ))dτ + V (t + ∆t, x(t + ∆t))
u(·) zulässig ⎩
⎭ .
t
Da V als stetig differenzierbar vorausgesetzt wird und g stetig ist, kann für jeden
Stetigkeitspunkt t von u(·)
t+∆t ∫
g(τ, x(τ), u(τ))dτ für kleine ∆t-Werte durch g(t, x(t), u(t))∆t + o(∆t)
t
approximiert werden und es folgt:
V (t, x) = max
{ }
g(t, x(t), u(t))∆t + V (t + ∆t, x(t + ∆t)) + o(∆t).
u(·) zulässig
Nach dem Satz von Taylor ergibt sich:
V (t + ∆t, x(t + ∆t)) = V (t, x(t)) + V t (t, x(t))∆t + V x (t, x(t))ẋ(t)∆t + o(∆t).
Setzt man dieses Ergebnis in die vorhergehende Gleichung ein, dividiert durch ∆t und
beachtet ẋ = f(t, x, u), so folgt für ∆t → 0 und für jedes fixierte t die partielle
Differentialgleichung
0 = max
u∈Ω
{
g(t, x, u) + Vt (t, x) + V x (t, x)f(t, x, u) } .
Gemäß der Definition der Hamiltonfunktion H lässt sich, weil V t (t, x(t)) nicht von u
abhängt, die partielle Differentialgleichung in der Form
−V t (t, x) = max
u∈Ω H(t, x, u, V x(t, x)) (4.8)
schreiben. Die Randbedingung V (T, x T ) = q(x(T )) folgt unmittelbar.
Die partielle Differentialgleichung (4.8) wird Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung
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