disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4.5. Bellman-Prinzip
Auf dieser Basis lässt sich eine notwendige und hinreichende Bedingung
konstruieren.
4.5.1. Eine notwendige und hinreichende
Optimalitätsbedingung für die Aufgaben mit
stückweise stetigen Steuerungen
Wir betrachten das Optimalsteuerungsproblem (4.1) und definieren eine Wertefunktion
V (t, x t ) : [t 0 , T ] × R n → R gemäß
∫ T
V (t, x t ) = max
u(·)
g(τ, x(τ), u(τ))dτ + q(x(T )), (4.7)
t
wobei u(·) : [t, T ] → R m zulässig auf [t, T ] und x(·) die zugehörige Trajektorie mit
x(t) = x t ∈ R n ist.
V (t, x t ) gibt den optimalen Wert des Zielfunktionals ausgehend vom Zeitpunkt
t ∈ [t 0 , T ] und dem Ausgangspunkt x t ∈ R n an, also den maximalen Wert des
Zielfunktionals für das zum Zeitpunkt t verbleibende Zeitintervall [t, T ] und für den
Startpunkt x t . Dabei gilt auch x(T ) = x T ∈ R n .
Bei folgenden Überlegungen werden wir zwei unterschiedliche Formen von
Steuerungen betrachten. In der Optimalsteuerung ist es üblich, Steuerungen als
Funktionen von der Zeit t (und häufig vom in der Regel festen Anfangszustand
x 0 ) zu betrachten. Diese Steuerungen nennen wir open-loop-Form (offene Schleife)
und werden im Weiteren optimale Steuerung in solcher Form als u ∗ (·) bezeichnen.
Diese Form hat einen Nachteil: Falls sich das System von der optimalen Trajektorie
wegentwickelt, würde die Steuerung nicht optimal. Die closed-loop-Form oder
Rückkopplungsform u(t, x t ) beschreibt eine Abhängigkeit der Steuerfunktionen
von der Zeit t und auch vom gegenwärtigen Zustand x(t) = x t ∈ R n .
Wir bezeichnen die closed-loop optimale Steuerung û(t, x t ). Bei deterministischen
optimalen Steuerungsproblemen ist diese Unterscheidung nicht von einer großer
Bedeutung, weil man das optimale x = x(t, x 0 ) in die Rückkopplungslösung
einsetzen kann und so eine äquivalente Lösung in offener Schleife erhalten kann. Eine
optimale closed-loop-Lösung kann daher immer in eine optimale open-loop- Lösung
in offener Schleife umgeformt werden und umgekehrt. Einfachheitshalber werden wir
in folgenden Sätzen V (t, x t ) als V (t, x) und u(t, x t ) als u(t, x) bezeichnen.
Die Hamiltonfunktion H ist für das Problem (4.1) gemäß
H(t, x, u, V x (t, x)) = g(t, x, u) + V x (t, x) · f(t, x, u).
erklärt. Nun können wir das Bellman-Prinzip formulieren.
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