disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4. Grundlagen der Optimalsteuerung
Trotz vieler Untersuchungen ist die Theorie der hinreichenden Bedingungen
für spezielle Optimalsteuerungsprobleme (unter anderem, für die Aufgaben mit
stückweise konstante Steuerungen) noch nicht abgeschlossen.
Gabasov und Kirillova haben in ihren Arbeiten studiert ( [8]), dass das
Pontrjaginsche Maximumprinzip für die in u stetigen Prozesse auf Prozesse mit
stückweise konstanten Steuerungen im Allgemeinen nicht übertragbar ist.
Für stückweise konstante Steuerfunktionen gilt das Maximumprinzip nur
approximativ (Quasimaximumprinzip). Gabasov und Kirillova zeigten z.B., dass
die Differenz zwischen dem Maximum der Hamilton-Funktion und dem Wert der
Hamilton-Funktion für die optimale Steuerung u ∗ (t) kleiner ε gemacht werden kann
und dass dieser Abstand nach Null strebt, falls die Länge der Steuerintervalle h
genügend klein gewählt worden ist. Bei den Steuerintervallen fester Länge gilt das
nicht.
Trotzdem wenden in der Regel viele Autoren das Pontrjaginsche Maximumprinzip
auch in den Aufgaben mit stückweise konstanten Steuerungen, obwohl die
notwendigen Bedingungen in solchen Fällen nicht gesichert sind.
4.5. Bellman-Prinzip
Eine zentrale Methode der Dynamischen Programmierung ist das Bellman-Prinzip.
Dynamische Programmierung kann dann erfolgreich eingesetzt werden, wenn das
Optimierungsproblem aus vielen gleichartigen Teilproblemen besteht, und eine
optimale Lösung des Problems sich aus optimalen Lösungen der Teilprobleme
zusammensetzt. Das Verfahren der dynamischen Programmierung besteht darin, zuerst
die optimalen Lösungen der kleinsten Teilprobleme direkt zu berechnen, und diese
dann geeignet zu einer Lösung eines nächstgrößeren Teilproblems zusammenzusetzen.
Diese Idee wurde 1957 von Bellman formuliert. 5
In der Steuerungstheorie kann man das Prinzip der dynamischen Programmierung
einsetzen, um eine Gleichung herzuleiten (Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung),
deren Lösung den optimalen Wert der Steuerung ergibt. Die Argumentation ist dabei
folgende: Wenn das Problem zeitabhängig ist, kann man den optimalen Wert des
Zielfunktionals zu einem bestimmten Zeitpunkt betrachten. Zu untersuchen ist also
eine Gleichung für die optimale Lösung, die das Zielfunktional auch zu einem späteren
Zeitpunkt optimal erhält. Diese Überlegung führt zur Hamilton-Jacobi-Bellman-
Gleichung. Damit kann man das Problem in Zeitschritte einteilen, anstatt es auf einmal
lösen zu müssen.
5 Richard Bellman (1920-1984), amerikanischer Mathematiker und Physiker, Erfinder der
Dynamischen Programmierung. Nach ihm sind mehrere Algorithmen und Methoden der Diskreten
Optimierung und benachbarter Gebiete benannt worden, z.B. der Algorithmus von Bellman und
Ford und das Optimalitätsprinzip.
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