disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald
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4. Grundlagen der Optimalsteuerung Diese Werte werden in die Prozessgleichungen eingesetzt und aus der Bedingung ẋ(t) = 0 werden optimale singuläre Steuerungen für diese stationären Zustände ausgerechnet. Eine optimale Fangstrategie ist also das möglichst schnelles Erreichen dieses Zustandes vom Punkt x 1 (0), x 2 (0), x 3 (0) aus und die singuläre Steuerung auf dem weiteren Intervall. Wir zeigen jetzt, dass die Hamilton-Funktion in Abhängigkeit von u 1 , u 2 , u 3 linear ist: H(x, u, λ, t) = { p 1 u 1 x 1 + p 2 u 2 x 2 + p 3 u 3 x 3 − c · 3∑ i=1 u i } e −δt ( + λ 1 (ε 1 x 1 · 1 − x ) ) 1 − s 1 u 1 x 1 − γ 12 x 1 x 2 − γ 13 x 1 x 3 K 1 ( + λ 2 (ε 2 x 2 · 1 − x ) ) 2 − s 2 u 2 x 2 − γ 21 x 1 x 2 − γ 23 x 2 x 3 K 2 ( + λ 3 (ε 3 x 3 · 1 − x ) ) 3 − s 3 u 3 x 3 − γ 31 x 1 x 3 − γ 32 x 2 x 3 K [ 3 ] = u 1 (p 1 x 1 − c) e −δt − λ 1 s 1 x 1 [ ] + u 2 (p 2 x 2 − c) e −δt − λ 2 s 2 x 2 [ ] + u 3 (p 3 x 3 − c) e −δt − λ 3 s 3 x 3 ( ( + [λ 1 ε 1 x 1 · 1 − x ) ) 1 − γ 12 x 1 x 2 − γ 13 x 1 x 3 K 1 ( + λ 2 (ε 2 x 2 · 1 − x ) ) 2 − γ 21 x 1 x 2 − γ 23 x 2 x 3 K 2 ( + λ 3 (ε 3 x 3 · 1 − x ) ) ] 3 − γ 31 x 1 x 3 − γ 32 x 2 x 3 . K 3 Nun möchten wir untersuchen, ob das Maximumprinzip für unser Beispiel eine hinreichende Bedingung ist. Dazu beschäftigen wir uns mit der Funktion H 0 (x, λ, t) = max u∈Ω H(x, u, λ, t), für alle t ∈ [t 0, T ]. Wenn wir zeigen können, dass die Funktion H 0 (·, ·, ·) in x = (x 1 , x 2 , x 3 ) T für alle λ i , i = 1, 2, 3 konkav ist, ist die Bedingung auch hinreichend. Dabei beachten wir, dass die die Konkavität von H 0 nicht auf Teilintervallen, sondern auf dem ganzen Intervall [t 0 , T ] untersucht werden muss. 64
4.4. Untersuchung eines konkreten Modells Die Hamilton-Funktion erreicht ihr Maximum, wenn man eine optimale Steuerung einsetzt. Wie wissen aber nicht, dass die berechnete Lösung optimal ist und können uns lediglich überlegen, wie man die Struktur dieses Problems ausnutzt. Für diese konkrete Aufgabe, die in u linear ist, kann ein Maximum erreicht werden, indem man für u i , i = 1, 2, 3 die Grenzen des Intervalls [u min , u max ] = [0; 900] oder eine singuläre Steuerung u sing1 , u sing2 , u sing3 einsetzt. In beiden Fällen kann die maximierende Hamilton-Funktion in der Form [ ] H 0 (x, λ, t) = z 1 (p 1 x 1 − c) e −δt − λ 1 s 1 x 1 [ ] + z 2 (p 2 x 2 − c) e −δt − λ 2 s 2 x 2 [ ] + z 3 (p 3 x 3 − c) e −δt − λ 3 s 3 x 3 ( ( + [λ 1 ε 1 x 1 · 1 − x ) ) 1 − γ 12 x 1 x 2 − γ 13 x 1 x 3 K 1 ( + λ 2 (ε 2 x 2 · 1 − x ) ) 2 − γ 21 x 1 x 2 − γ 23 x 2 x 3 K 2 ( + λ 3 (ε 3 x 3 · 1 − x ) ) ] 3 − γ 31 x 1 x 3 − γ 32 x 2 x 3 . K 3 geschrieben werden. Dabei gilt für i = 1, 2, 3 und feste Zeitpunkte t i z i = u min 2 (1 + sgn(t i − t)) + u sing i 2 (1 − sgn(t i − t)), falls x i (t) < x singi für t < t i und x i (t) = x singi für t ≥ t i , bzw. z i = u max 2 (1 + sgn(t i − t)) + u sing i 2 (1 − sgn(t i − t)), falls x i (t) > x singi für t < t i und x i (t) = x singi für t ≥ t i . Hier ist sgn(0) = −1. t i bezeichnen hier die Zeitpunkte, in denen die entsprechenden Population ihren Gleichgewicht erreichen. In beiden Fällen sind z i , i = 1, 2, 3 Konstanten auf gewissen Intervallen! Nun bestimmen wir die Hesse-Matrix dieser Funktion. ⎛ ⎞ −2λ 1 ε 1 −λ 1 γ 12 − λ 2 γ 21 −λ 1 γ 13 − λ 3 γ 31 K 1 −2λ 2 ε 2 HM = −λ ⎜ 1 γ 12 − λ 2 γ 21 −λ 2 γ 23 − λ 3 γ 32 K ⎝ 2 ⎟ −2λ 3 ε 3 ⎠ −λ 1 γ 13 − λ 3 γ 31 −λ 2 γ 23 − λ 3 γ 32 K 3 Wir sehen, dass man weder Definitheit noch Indefinitheit für beliebige Werte λ feststellen kann. Das heißt, die Konkavität der Funktion H 0 (x, λ, t) lässt sich in diesem konkreten Fall (zumindest ohne Kenntnis von λ i ) nicht nachweisen. 65
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4.4. Untersuchung eines konkreten Modells<br />
Die Hamilton-Funktion erreicht ihr Maximum, wenn man eine optimale Steuerung<br />
einsetzt. Wie wissen aber nicht, dass die berechnete Lösung optimal ist und können<br />
uns lediglich überlegen, wie man die Struktur dieses Problems ausnutzt.<br />
Für diese konkrete Aufgabe, die in u linear ist, kann ein Maximum erreicht werden,<br />
indem man für u i , i = 1, 2, 3 die Grenzen des Intervalls [u min , u max ] = [0; 900]<br />
oder eine singuläre Steuerung u sing1 , u sing2 , u sing3 einsetzt. In beiden Fällen kann die<br />
maximierende Hamilton-Funktion in der Form<br />
[<br />
]<br />
H 0 (x, λ, t) = z 1 (p 1 x 1 − c) e −δt − λ 1 s 1 x 1<br />
[<br />
]<br />
+ z 2 (p 2 x 2 − c) e −δt − λ 2 s 2 x 2<br />
[<br />
]<br />
+ z 3 (p 3 x 3 − c) e −δt − λ 3 s 3 x 3<br />
( (<br />
+<br />
[λ 1 ε 1 x 1 · 1 − x )<br />
)<br />
1<br />
− γ 12 x 1 x 2 − γ 13 x 1 x 3<br />
K 1<br />
(<br />
+ λ 2<br />
(ε 2 x 2 · 1 − x )<br />
)<br />
2<br />
− γ 21 x 1 x 2 − γ 23 x 2 x 3<br />
K 2<br />
(<br />
+ λ 3<br />
(ε 3 x 3 · 1 − x )<br />
) ]<br />
3<br />
− γ 31 x 1 x 3 − γ 32 x 2 x 3 .<br />
K 3<br />
geschrieben werden. Dabei gilt für i = 1, 2, 3 und feste Zeitpunkte t i<br />
z i = u min<br />
2 (1 + sgn(t i − t)) + u sing i<br />
2 (1 − sgn(t i − t)),<br />
falls x i (t) < x singi für t < t i und x i (t) = x singi für t ≥ t i , bzw.<br />
z i = u max<br />
2 (1 + sgn(t i − t)) + u sing i<br />
2 (1 − sgn(t i − t)),<br />
falls x i (t) > x singi für t < t i und x i (t) = x singi für t ≥ t i . Hier ist sgn(0) = −1.<br />
t i bezeichnen hier die Zeitpunkte, in denen die entsprechenden Population ihren<br />
Gleichgewicht erreichen.<br />
In beiden Fällen sind z i , i = 1, 2, 3 Konstanten auf gewissen Intervallen! Nun<br />
bestimmen wir die Hesse-Matrix dieser Funktion.<br />
⎛<br />
⎞<br />
−2λ 1 ε 1<br />
−λ 1 γ 12 − λ 2 γ 21 −λ 1 γ 13 − λ 3 γ 31<br />
K 1 −2λ 2 ε 2<br />
HM =<br />
−λ<br />
⎜ 1 γ 12 − λ 2 γ 21 −λ 2 γ 23 − λ 3 γ 32<br />
K<br />
⎝<br />
2 ⎟<br />
−2λ 3 ε 3<br />
⎠<br />
−λ 1 γ 13 − λ 3 γ 31 −λ 2 γ 23 − λ 3 γ 32<br />
K 3<br />
Wir sehen, dass man weder Definitheit noch Indefinitheit für beliebige Werte λ<br />
feststellen kann. Das heißt, die Konkavität der Funktion H 0 (x, λ, t) lässt sich in diesem<br />
konkreten Fall (zumindest ohne Kenntnis von λ i ) nicht nachweisen.<br />
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