disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4. Grundlagen der Optimalsteuerung
Diese Werte werden in die Prozessgleichungen eingesetzt und aus der Bedingung
ẋ(t) = 0 werden optimale singuläre Steuerungen für diese stationären Zustände
ausgerechnet.
Eine optimale Fangstrategie ist also das möglichst schnelles Erreichen dieses
Zustandes vom Punkt x 1 (0), x 2 (0), x 3 (0) aus und die singuläre Steuerung auf dem
weiteren Intervall.
Wir zeigen jetzt, dass die Hamilton-Funktion in Abhängigkeit von u 1 , u 2 , u 3 linear
ist:
H(x, u, λ, t) =
{
p 1 u 1 x 1 + p 2 u 2 x 2 + p 3 u 3 x 3 − c ·
3∑
i=1
u i
}
e −δt
(
+ λ 1
(ε 1 x 1 · 1 − x )
)
1
− s 1 u 1 x 1 − γ 12 x 1 x 2 − γ 13 x 1 x 3
K 1
(
+ λ 2
(ε 2 x 2 · 1 − x )
)
2
− s 2 u 2 x 2 − γ 21 x 1 x 2 − γ 23 x 2 x 3
K 2
(
+ λ 3
(ε 3 x 3 · 1 − x )
)
3
− s 3 u 3 x 3 − γ 31 x 1 x 3 − γ 32 x 2 x 3
K
[
3
]
= u 1 (p 1 x 1 − c) e −δt − λ 1 s 1 x 1
[
]
+ u 2 (p 2 x 2 − c) e −δt − λ 2 s 2 x 2
[
]
+ u 3 (p 3 x 3 − c) e −δt − λ 3 s 3 x 3
( (
+
[λ 1 ε 1 x 1 · 1 − x )
)
1
− γ 12 x 1 x 2 − γ 13 x 1 x 3
K 1
(
+ λ 2
(ε 2 x 2 · 1 − x )
)
2
− γ 21 x 1 x 2 − γ 23 x 2 x 3
K 2
(
+ λ 3
(ε 3 x 3 · 1 − x )
) ]
3
− γ 31 x 1 x 3 − γ 32 x 2 x 3 .
K 3
Nun möchten wir untersuchen, ob das Maximumprinzip für unser Beispiel eine
hinreichende Bedingung ist.
Dazu beschäftigen wir uns mit der Funktion
H 0 (x, λ, t) = max
u∈Ω H(x, u, λ, t), für alle t ∈ [t 0, T ].
Wenn wir zeigen können, dass die Funktion H 0 (·, ·, ·) in x = (x 1 , x 2 , x 3 ) T für alle
λ i , i = 1, 2, 3 konkav ist, ist die Bedingung auch hinreichend. Dabei beachten wir,
dass die die Konkavität von H 0 nicht auf Teilintervallen, sondern auf dem ganzen
Intervall [t 0 , T ] untersucht werden muss.
64