disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4.4. Untersuchung eines konkreten Modells
Die adjungierten Differentialgleichungen lauten hier:
˙λ 1 = −H x1 = −p 1 u 1 e −δt −λ 1
(ε 1 − 2ε 1x 1
K 1
− s 1 u 1 − γ 12 x 2 − γ 13 x 3
)
+ λ 2 · γ 21 x 2 + λ 3 · γ 31 x 3 ;
˙λ 2 = −H x2 = −p 2 u 2 e −δt −λ 2
(ε 2 − 2ε )
2x 2
− s 2 u 2 − γ 21 x 1 − γ 23 x 3
K 2
+ λ 1 · γ 12 x 1 + λ 3 · γ 32 x 3 ;
˙λ 3 = −H x3 = −p 3 u 3 e −δt −λ 3
(ε 3 − 2ε )
3x 3
− s 3 u 3 − γ 31 x 1 − γ 32 x 2
K 3
+ λ 1 · γ 13 x 1 + λ 2 · γ 23 x 2 .
Die Populationen müssen möglichst schnell auf den Gleichgewichtspunkt gebracht
werden und dann mit einer singulären Steuerung gefangen werden.
Die optimale Lösung erhalten wir durch die Berechnung der Schaltfunktion:
σ 1 (x, λ, t) = H u1 (x, u, λ, t) = e −δt (p 1 x 1 − c) − λ 1 s 1 x 1 ;
σ 2 (x, λ, t) = H u2 (x, u, λ, t) = e −δt (p 2 x 2 − c) − λ 2 s 2 x 2 ;
σ 3 (x, λ, t) = H u3 (x, u, λ, t) = e −δt (p 3 x 3 − c) − λ 3 s 3 x 3 .
Singuläre Steuerungen treten auf, falls gilt:
σ i (t) = σ i (x(t), λ(t), t) = 0 für t ∈ [t 1 , t 2 ] ⊆ [t 0 , T ], i = 1, 2, 3
(
⇐⇒ λ i (t) =
e−δt
s i x i (t) (p ix i (t) − c) = e−δt
p i −
c )
, i = 1, 2, 3.
s i x i (t)
Durch Differenzieren und Einsetzen erhalten wir (beispielsweise für i = 1):
˙σ 1 = −δe −δt (p 1 x 1 − c) + e −δt p 1 ẋ 1 − ˙λ 1 s 1 x 1 − λ 1 s 1 ẋ 1
= −δe −δt (p 1 x 1 − c)
(
+ e −δt p 1
(ε 1 x 1 · 1 − x )
)
1
− s 1 u 1 x 1 − γ 12 x 1 x 2 − γ 13 x 1 x 3
K
( 1
−
[−p 1 u 1 e −δt − λ 1 ε 1 − 2ε )
1x 1
− s 1 u 1 − γ 12 x 2 − γ 13 x 3
K 1
+ λ 2 · γ 21 x 2 + λ 3 · γ 31 x 3
]s 1 x 1
− λ 1 s 1
(ε 1 x 1 ·
(
1 − x 1
K 1
)
− s 1 u 1 x 1 − γ 12 x 1 x 2 − γ 13 x 1 x 3
)
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