disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

Inhaltsverzeichnis
4. Grundlagen der Optimalsteuerung 49
4.1. Das Maximumprinzip von Pontrjagin . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.1. Stückweise stetige Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.2. Stückweise konstante Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2. Existenz der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3. Hinreichende Optimalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1. Hinreichende Bedingungen nach Mangasarian . . . . . . . . 53
4.3.2. Hinreichende Bedingungen nach Krotov . . . . . . . . . . . . 53
4.3.3. Hinreichende Bedingungen nach K.Arrow . . . . . . . . . . . 54
4.4. Untersuchung eines konkreten Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5. Bellman-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5.1. Eine notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingung für
die Aufgaben mit stückweise stetigen Steuerungen . . . . . . 67
4.5.2. Optimalitätsbedingungen für die Aufgaben mit stückweise
konstanten Steuerungen (closed-loop) . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.3. Optimalitätsbedingungen für die Aufgaben mit stückweise
konstanten Steuerungen (open-loop) . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6. Berechnung optimaler Fangraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6.1. Vorbetrachtung für den eindimensionalen Fall . . . . . . . . . 76
4.6.2. Vorbetrachtung für einen mehrdimensionalen Fall . . . . . . . 81
5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der
Optimalsteuerung 83
5.1. Numerische Lösung des Steuerungsproblems . . . . . . . . . . . . . 83
5.2. Direkte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.1. Direkte Kollokation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.2. Direktes Schießverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3. Indirekte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.1. Einfach-Schießverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2. Mehrfach-Schießverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4. Lineare Beispiele nachhaltiger Fischerei . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4.1. Berechnung optimaler Fangraten . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4.2. Berechnung optimaler Fangzeiten . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4.3. Berechnung optimaler Fangraten mit zeitabhängigen
Wachstumsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5. Ökologische Modelle mit nichtlinear auftretender Steuerung . . . . . 102
5.5.1. Modelle mit stückweise stetigen Steuerungen . . . . . . . . . 102
5.5.2. Modelle mit stückweise konstanten Steuerungen . . . . . . . 107
6. Zusammenfassung und Ausblick 115
Literaturverzeichnis 119
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