4. Grundlagen der Optimalsteuerung state 1 State 1 vs time 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0 5 10 15 20 t control 1 Control 1 vs time 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 -50 0 5 10 15 20 t Abbildung 4.1.: 3-Populationen-System: Dorsch. Entwicklung der Population (links), stückweise stetige Steuerung (rechts) state 2 State 2 vs time 0.8 0.79 0.78 0.77 0.76 0.75 0.74 0.73 0.72 0.71 0.7 0 5 10 15 20 t control 2 Control 2 vs time 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 5 10 15 20 t Abbildung 4.2.: 3-Populationen-System: Hering. Entwicklung der Population (links), stückweise stetige Steuerung (rechts) 1 State 3 vs time 1400 Control 3 vs time 0.95 1200 state 3 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 control 3 1000 800 600 400 0.65 200 0.6 0 5 10 15 20 t 0 0 5 10 15 20 t Abbildung 4.3.: 3-Populationen-System: Sprotte. Entwicklung der Population (links), stückweise stetige Steuerung (rechts) 58
4.4. Untersuchung eines konkreten Modells Jahr x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3 0 0.2500000 0.8000000 1.0000000 0.000000 263.6494 531.3586 1 0.3244954 0.7006421 0.6495999 0.000000 154.1460 150.5292 2 0.4088918 0.7221604 0.7120884 0.000000 185.2492 240.4183 3 0.4974498 0.7117310 0.6920001 0.000000 180.4876 218.8285 4 0.5843451 0.7077763 0.6928961 417.7087 176.9903 220.8658 5 0.5778183 0.7075602 0.6918569 381.3450 176.7343 219.4632 10 0.5792128 0.7076102 0.6920774 389.0092 176.7938 219.7610 15 0.5792109 0.7076101 0.6920771 388.9998 176.7938 219.7610 20 0.5791999 0.7076000 0.6919999 389.0686 176.8090 219.8855 Wenn diese Strategie angewendet wird, wird ein Gewinn von ca. 1449.2 Mio. Euro nach 20 Jahren erreicht. Dieses Modell und deren Modifikationen werden im Unterkapitel 5.4.1 ausführlicher diskutiert. Bei den Modellen, die in der Steuerung linear sind, kommt häufig eine singuläre optimale Steuerung oder eine Bang-bang-Steuerung in Frage. In diesem Unterkapitel beschäftigen wir uns nur mit solchen Modellen. Definition 4.1 Sei H(x, u, λ, t) die Hamilton-Funktion des Optimalsteuerungsproblems (4.1). Der Gradient bzw. abgekürzt wird als Schaltfunktion bezeichnet. σ(x, λ, t) = ∇ u H(x, u, λ, t) σ(t) := σ(x(t), λ(t), t) = (σ 1 (t), ..., σ m (t)) T Für die Prozesse, die in u = (u 1 , . . . , u m ) linear sind, hängt σ i (t), i = 1, . . . , m nicht von u i ab. Definition 4.2 Es sei [t 1 , t 2 ] ⊆ [0, T ], u i ∈ [u i min , u i max ], i = 1, . . . , m, t 1 < t 2 . ➣ u i (·) heißt bang-bang in [t 1 , t 2 ], wenn die i−te Komponente der Schaltfunktion σ i (·) in [t 1 , t 2 ] nur isolierte Nullstellen besitzt. Das bedeutet, es gilt u ∗ i (t) ∈ {u min i , u max i } für fast alle t ∈ [t 1 , t 2 ]. Die Nullstellen von σ i (·) heißen Schaltpunkte. ➣ u i (·) heißt singulär in [t 1 , t 2 ], wenn σ i (t) ≡ 0 in [t 1 , t 2 ] gilt. Die Zeitpunkte t 1 und t 2 heißen Verbindungspunkte, falls u(·) bang-bang ist in [t 1 − ε, t 1 ] und in [t 2 , t 2 + ε] für ein ε > 0. Es gibt kein generelles Kriterium dafür, ob singuläre Steuerungen auftreten oder nicht. Dies müsste für jede konkrete Aufgabe untersucht werden. 59
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