disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald
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4. Grundlagen der Optimalsteuerung Zusammen mit der adjungierten Gleichungen ˙λ = −H x erhalten wir: δJ ≥ q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) + ∫ T t 0 (H x (x ∗ (t), u ∗ (t), λ(t), t)(x ∗ (t) − x(t)) − λ(t)(ẋ ∗ (t) − ẋ(t))) dt = q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) − = q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) − ∫ T t 0 ∫ T t 0 ( ) ˙λ(t)(x ∗ (t) − x(t)) + λ(t)(ẋ ∗ (t) − ẋ(t)) dt ( ) d dt [λ(t)(x∗ (t) − x(t))] dt = q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) − [λ(t)(x ∗ (t) − x(t))] T t 0 = q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) − λ(t 0 )[x ∗ (T ) − x(T )] + λ(T )[x ∗ (T ) − x(T )]. Beachtet man die Transversalitätsbedingung sowie x(t 0 ) = x ∗ (t 0 ) gilt, folgt unmittelbar: δJ ≥ q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) − λ(t 0 )[x ∗ (t 0 ) − x(t 0 )] + λ(T )[x ∗ (T ) − x(T )] = q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) − q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) = 0. 4.4. Untersuchung eines konkreten Modells Im Artikel [39] suchten wir nach optimalen Steuerungen für das konkrete Lotka- Volterra-Modell, bestehend aus Dorsch(x 1 ), Hering(x 2 ) und Sprotte(x 3 ) für ein Zeitintervall von 20 Jahren. u 1 ist die Anzahl der Dorschkutter im entsprechenden Jahr. u 2 und u 3 sind die Anzahl der Kutter, die den Heringsfang bzw. den Sprottenfang leisten. Dies kann z.B. durch Verwenden unterschiedlicher Fangmethoden erfolgen (z.B. gleiche Kutter, aber andere Fangmethoden bzw. Netze). Die Daten für das gegenwärtige 0.Jahr basieren auf dem Stand dieser Fischbestände in der Ostsee (vgl. Döring, 2000). 56
4.4. Untersuchung eines konkreten Modells Das Modell (mit stückweise stetigen oder stückweise konstanten Steuerungen) ist: J (u) = ∫ T 0 { 1130 · u 1 (t) · 1.5 · 250 · x1(t) + 270 · u 1 2 (t) · 6.4 · 250 · x2(t) 1.2 +460u 3 (t) · 6.4 · 250 · x3(t) 1.3 − 500 · 250 · 3∑ J (u) → max u 0 ≤ u 1 (t) + u 2 (t) + u 3 (t) ≤ 1900, 0 ≤ t ≤ 20, u = (u 1 , u 2 , u 3 ) i=1 u i (t) } e −0.06t dt (4.5) mit Nebenbedingungen (ODE): ẋ 1 (t) = 0.4x 1 (t) · (1 − x 1 (t)) − 1.5 · 250 · u 1 (t) · x1(t) 10 6 −0.02 · x1(t)x 2 (t) − 0.02 · x1(t)x 3 (t) 1.2 1.3 ( ẋ 2 (t) = 0.6x 2 (t) · 1 − x 2(t) 1.2 −0.0125 · x1(t)x 2 (t) ( ẋ 3 (t) = 0.6x 3 (t) · ) − 6.4 · 250 · u 2 (t) · − 0.01 · x2(t)x 3 (t) 1.2 1.56 ) 1 − x 3(t) − 6.4 · 250 · u 1.3 3 (t) · −0.0125 · x1(t)x 3 (t) 1.3 − 0.01 · x2(t)x 3 (t) 1.56 , x 2 (t) 1.2·10 6 x 3 (t) 1.3·10 6 und Anfangswerten x 1 (0) = 0.25, x 2 (0) = 0.8, x 3 (0) = 1.0 und Endbedingungen x 1 (20) = 0.5792, x 2 (20) = 0.7076, x 3 (20) = 0.692. Dazu haben wir mittels direkter Verfahren (sie werden im nächsten Kapitel besprochen) eine optimale Lösung berechnet. Optimale Fangstrategien haben folgende Gestalt (s. Abbildungen 4.1, 4.2, 4.3). 57
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4. Grundlagen der Optimalsteuerung<br />
Zusammen mit der adjungierten Gleichungen ˙λ = −H x erhalten wir:<br />
δJ ≥ q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T ))<br />
+<br />
∫ T<br />
t 0<br />
(H x (x ∗ (t), u ∗ (t), λ(t), t)(x ∗ (t) − x(t)) − λ(t)(ẋ ∗ (t) − ẋ(t))) dt<br />
= q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) −<br />
= q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) −<br />
∫ T<br />
t 0<br />
∫ T<br />
t 0<br />
( )<br />
˙λ(t)(x ∗ (t) − x(t)) + λ(t)(ẋ ∗ (t) − ẋ(t)) dt<br />
( )<br />
d<br />
dt [λ(t)(x∗ (t) − x(t))] dt<br />
= q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) − [λ(t)(x ∗ (t) − x(t))] T t 0<br />
= q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) − λ(t 0 )[x ∗ (T ) − x(T )] + λ(T )[x ∗ (T ) − x(T )].<br />
Beachtet man die Transversalitätsbedingung sowie x(t 0 ) = x ∗ (t 0 ) gilt, folgt<br />
unmittelbar:<br />
δJ ≥ q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) − λ(t 0 )[x ∗ (t 0 ) − x(t 0 )] + λ(T )[x ∗ (T ) − x(T )]<br />
= q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) − q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )) = 0.<br />
4.4. Untersuchung eines konkreten Modells<br />
Im Artikel [39] suchten wir nach optimalen Steuerungen für das konkrete Lotka-<br />
Volterra-Modell, bestehend aus Dorsch(x 1 ), Hering(x 2 ) und Sprotte(x 3 ) für ein<br />
Zeitintervall von 20 Jahren. u 1 ist die Anzahl der Dorschkutter im entsprechenden<br />
Jahr. u 2 und u 3 sind die Anzahl der Kutter, die den Heringsfang bzw. den Sprottenfang<br />
leisten. Dies kann z.B. durch Verwenden unterschiedlicher Fangmethoden erfolgen<br />
(z.B. gleiche Kutter, aber andere Fangmethoden bzw. Netze). Die Daten für das<br />
gegenwärtige 0.Jahr basieren auf dem Stand dieser Fischbestände in der Ostsee (vgl.<br />
Döring, 2000).<br />
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