disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4.3. Hinreichende Optimalitätsbedingungen
nicht negativ ist.
Mittels der Hamiltonfunktion lässt sich die Funktion g(t, x, u) als
g(t, x, u) = H(x, u, λ, t) − λf(t, x, u)
schreiben. Damit kann man die Differenz (4.3) folgendermaßen umschreiben:
δJ = q(x ∗ (T )) +
= q(x ∗ (T )) +
−
∫ T
t 0
∫ T
t 0
[ ∫ T
q(x(T )) +
= q(x ∗ (T )) +
−
t 0
∫ T
t 0
[ ∫ T
q(x(T )) +
t 0
= q(x ∗ (T )) − q(x(T ))
+
∫ T
t 0
(
g (t, x ∗ (t), u ∗ (t)) dt −
[ ∫ T
q(x(T )) +
t 0
]
g (t, x(t), u(t)) dt
(H(x ∗ (t), u ∗ (t), λ(t), t) − λ(t) · f(t, x ∗ (t), u ∗ (t))) dt
]
(H(x(t), u(t), λ(t), t) − λ(t) · f(t, x(t), u(t))) dt
(H(x ∗ (t), u ∗ (t), λ(t), t) − λ(t)ẋ ∗ (t)) dt
]
(H(x(t), u(t), λ(t), t) − λ(t)ẋ(t)) dt
)
H(x ∗ (t), u ∗ (t), λ(t), t) − H(x(t), u(t), λ(t), t) − λ(t)(ẋ ∗ (t) − ẋ(t)) dt.
Aus dem Maximumprinzip und der Konkavitätsannahme von H 0 (x, λ, t) bezüglich x
folgt nun für fast alle t:
H(x ∗ (t), u ∗ (t), λ(t), t) − H(x(t), u(t), λ(t), t)
≥ H 0 (x ∗ (t), λ(t), t) − H 0 (x(t), λ(t), t)
≥ H x (x ∗ (t), u ∗ (t), λ(t), t)(x ∗ (t) − x(t)). (4.4)
Aus der Konkavität von q(x) erhält man die Ungleichung:
q(x ∗ (T )) − q(x(T )) ≥ q x (x ∗ (T ))(x ∗ (T ) − x(T )).
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