disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4. Grundlagen der Optimalsteuerung
und sei
Dann gilt:
r(T, x(T )) = K(T, x(T )) + q(T, x(T )).
Satz 4.4 Es existiere eine stetig, in t und in x differenzierbare Funktion K(t, x) und
es existiere ein Paar (x ∗ , u ∗ ) mit x ∗ = x ∗ (·), u ∗ = u ∗ (·), so dass
1) max R(t, x(t), u(t)) = R(t, x ∗ (t), u ∗ (t)), ∀t ∈ [t 0 , T ];
(x(t),u(t))∈L(t)
2) max x(T )∈C(T ) x∗ (T )).
Dann ist das Paar (x ∗ , u ∗ ) optimal für die Aufgabe (4.1).
Ein Beweis ist in [22] gegeben.
4.3.3. Hinreichende Bedingungen nach K.Arrow
Nun formulieren und beweisen wir das Maximumprinzip als eine hinreichende
Bedingung in folgender Form. 4
Wir definieren die maximierende Hamilton-Funktion H 0 : R n × R n × [t 0 , T ] → R
als:
H 0 (x, λ, t) = max
u∈Ω H(x, u, λ, t), für fast alle t ∈ [t 0, T ] und für alle x, λ ∈ R n .
Satz 4.5 Sei x ∗ (·), u ∗ (·) ein zulässiges Paar für das Problem (4.1) und es existiere
eine Funktion λ : [t 0 , T ] → R n , so dass die notwendigen Optimalitätsbedingungen
vom Satz (4.1) erfüllt sind. Ferner seien:
1. q(x) konkav,
2. H 0 (x, λ, t) sei konkav in x für alle (λ, t), t ∈ [0, T ], λ ∈ R n .
Dann ist x ∗ (·), u ∗ (·) eine optimale Lösung.
Hinweis: Die Bedingung 2 ist selten erfüllt. Daher kann auch nur selten die
Hinlänglichkeit mit diesem Satz gezeigt werden.
Beweis:
Es seien u(·) eine beliebige zulässige Steuerfunktion und x(·) die entsprechende
Lösung der Prozessgleichung. Um die Optimalität von x ∗ (·), u ∗ (·) zu beweisen,
müssen wir zeigen, dass die Differenz
4 Kenneth Joseph Arrow (geb. 1921), US-amerikanischer Ökonom.
δJ := J(u ∗ (·)) − J(u(·)) (4.3)
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