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4.3. Hinreichende Optimalitätsbedingungen
4.3. Hinreichende Optimalitätsbedingungen
Wir betrachten unsere urspüngliche Aufgabe (4.1) zu vorgegeben (hinreichend glatten)
Funktionen g, q, f.
4.3.1. Hinreichende Bedingungen nach Mangasarian
Die hinreichenden Bedingungen nach Mangasarian basieren auf der Konkavität der
Funktionen g, f und die etwas allgemeineren nach Arrow auf der Konkavität der
bezüglich u maximierten Hamiltonfunktion H.
Satz 4.3 Die im Maximumsprinzip (Satz 4.1) genannten Eigenschaften sind auch
hinreichend für das globale Maximum von J, falls
1) die Funktionen g(t, x, u) und f(t, x, u) in (x, u) konkav für alle t ∈ [t 0 , T ] sind,
2) die adjungierten Variablen λ(t) für alle t ∈ [t 0 , T ] in allen Komponenten
nichtnegativ sind, im Fall, dass f in x oder u nichtlinear ist.
Ist f in x und u linear, dann entfällt die Vorzeichenbeschränkung für die Adjungierten.
Einen Beweis dieses Satzes findet man in [26].
4.3.2. Hinreichende Bedingungen nach Krotov
In der Literatur findet man auch andere Formulierungen von hinreichenden
Bedingungen für die Aufgaben mit stückweise stetigen Steuerungen. Von Interesse ist
z.B. der Satz von Krotov, der uns ermöglicht, die Hinlänglichkeit etwas allgemeiner
zu betrachten und einige Aussagen für die stückweise konstante Steuerfunktionen zu
gewinnen.
Wir betrachten unsere urspüngliche Aufgabe (4.1) der optimalen Steuerung und es
seien (x(t), u(t)) ∈ L(t) ⊂ R n+m , ∀t ∈ [t 0 , T ].
Weiterhin sei C(t) := {x(t) : ∀u(t), (x(t), u(t)) ∈ L(t)} für alle t ∈ [t 0 , T ] eine
Projektion der Menge L(t) auf R n .
Sei K(t, x) eine (hinreichend glatte) Funktion von (n + 1) Variablen und sei R(t, x, u)
wie folgt definiert:
( ∂K(t, x)
R(t, x, u) =
∂x
∂K(t, x)
∂x
=
)
∂K(t, x)
, f(t, x, u) + + g(t, x, u),
∂t
( ) T ∂K(t, x) ∂K(t, x) ∂K(t, x)
, , . . . , ,
∂x 1 ∂x 2 ∂x n
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